ГЛАВА

ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

S 6. Группа

Арифметика и алгебра имеют дело с объектами различной при-

роды: це.чыми, рациональными, действительными или комплексными

числами, многочленами, алгебраическими дробями и т. д. При этом

в первую очередь рассматриваются свойства основных четырёх

действий: сложения, вычитания, умножения и деления.

Свойства этих действий для различных объектов во многом оказы-

ваются одними и теми же. Вот почему вполне ёстественным

и весьма целесообразным является построение в современной ал-

гебре самых общих образований, обладающих интересующими пас

свойствами.

В таком абстрактном виде легче выяснить значение и взаимоза-

висимость данных свойств, так как в конкретной области чисел,

многочленов и т. д. дело осложняется наличием ряда других свойств

помимо тех, которые мы желаем изучать.

В последующих главах будут изучаться основные числовые об-

ласти. Чтобы лучше уяснуггь значение различных их свойств и одно-

временно избежать многократного повторения одних и тех же рас-

суждений в применении к каждой из этих областей, мы рассмотрим

в настоящей главе основные понятия абстрактной алгебры. Чита-

'——телю, желающему глубже изучить эти вопросы, рекомендуем статью

Л. Я. Окунева 1) и книги Л. Я. Окунева [3] и Б. Л. Ван-дер Вардена

С точки зрения теории множеств любое из четырёх основных

действий есть некоторое отношение между тройками элементов

данного множества (см. начало S 5). Эти отношения отличаются,

однако, от других (как, скажем, от отношения порядка, рассмотрен-

ното в S 5) тем, что во всех четырёх случаях по двум элементам

находится третий (результат данного действия), дающий с двумя

данными тройку элементов, находящихся в данном отношении. От-

ношения такого типа получили особое название, а именно:

1) Э. 9. м., кн. 2., Л. Я. О ку не в, Кольцо многочленов и иоле рацио-

пальных функций.