ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

109

произведением, примёл эпьи операции обладают следующими свой-

стважи:

1. (Коммутативность сложения.)

II. (Ассоциативность сложения.) а + (Ь ф с) —

III. (Обратимость сложения.) Для любых а и Ь из R

уравнение а имеет (по крайней мере одно) решение, т. е.

существует элемент c ( R пиисой, что

IV. (Коммутативность умножения.

V. (Ассоциативность умножени я.) a(bc)==(ab)c;

VI. (Дистрибутивность умножения относительно

сложен и я.)

(а -4— Ь) с ас —Г- bc.

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умно-

жения кольцом является:

1. Множество целых чисел.

2. Множество рациональных чисел.

З. Множество действительных чисел.

4. Множество комплексных чисел.

5. Множество, состоящее лишь из одного числа 0.

6. Множество чётных чисел и вообще множество целых чисел,

кратных некоторому числу п.

7. Множество комплексных чисел а 4- bi с целыми а и Ь (так

называемое кольцо целых комплексных чисел).

8. Множество действительных чисел а А- Ь Й 2, где а и Ь— це-

лые числа.

Множество натуральных чисел, а также множество всех поло-

жительных рапиональных чисел кольцами не являются, так как не

выполняется аксиома IIl.

9. Большую роль в алгебре играет кольцо многочленов с одним

или несколькими неизвестными и коэффициентами из некоторого

кольца

При этом за операции сложения и умножения принимаются обыч-

иые действия над многочленами, известные из школьной алгебры.

Эти действия имеют смысл, так как они сводятся к сложению и

умножению коэффициентов многочленов, а последние принадлежат

к кольцу R, где указанные действия определены.

10. Пары (а, Ь) целых чисел образуют кольцо, если операции

определены по формулам

(а, Ь) -1— (с, b+d), (а, Ь) (с, bd).

1) В литературе термин «кольцо» применяется также ко множествам

с некоммутативным или даже неассоциативным умножением. Формулировки

других свойств также меняются. В конце данной статьи при обобщении по-

пятия числа нам понадобятся кольца без коммутативности умножения.