110
ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Проверить справедливость аксиом l—Vl во всех этих примерах
предоставляется читателю.
Для сложения и умножения в кольце справедливы все след-
ствия, полученные из законов. ассоциативности и коммутативности
в предыдущем параграфе. В частности, можно определить сумму
и произведение любого конечного числа элементов (S 6, опре-
деление З), для которых верны правила оперирования, аналогич-
ные (1) из S 6 и которые не зависят от порядка данных элемен-
тов [5 6, (2)].
Свойства I—IlI показывают, что кольцо относительно операции
сложения является коммутативной группой. Поэтому во всяком
кольце существует элемент 0, называемый нулём кольца, со свой-
ством
для любого а. Далее, для любого а существует противоположный
а такой, что
При совпадении слагаемых или сомножителей мы получаем п-крат-
ное па или п-ю степень ап элемента а. При этом степень ап опре-
делена вообще лишь для натурального п, так как её определение
для п 40 требовало существование единицы и обратного эле-
что в кольце может не выполняться. Свойства степени
мента а 1
— (5) из S 6 сохраняются также лишь для натуральных показа-
(3)
телей. В отличие от этого понятие п-кратиого па элемента а и его
свойства (6) — (8) из S 6 остаются верными в случае кольца (как
группы по сложению) для любых целых чисел.
Из законов сложения I—III следует (как для всякой коммута-
тивноИ группы) существование в любом кольце операции вычитания,
обратной сложению. Умножение может и не обладать обратной
операцией, как, например, в кольце целых чисел или в кольце мно-
гочленов.
Следствие закона дистрибутивности. До сих пор
мы рассматривали свойства каждой из двух операций кольца отдельно.
Переходим к изучению их связи между собой. Эта связь опреде-
ляется законом дистрибутивности VI.
Прежде всего из VI и IV следует, очевидно, вторая форма
закона дистрибутивности:
а (Ь + с) ab 4- ас.
Далее, обе формы закона дистрибутивности оказываются вер-
ными также и для разности, т. е.
(а — Ь) с ас —bc, а (Ь — с) ab — ас.
(1)