106

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Доказа тель ст во. Пусть е— решение уравнения для

некоторого Ь из О, т. е. Для любого а уравнение

имеет решение с, т. е. Тогда

еа е (bc) (eb) с bc а.

Итак, еа:::=а для любого а из G. Так же доказывается существо-

вание в G элемента е' такого, что ае'==а для любого а из О.

Тогда ее' Итак, е — единица группы G. Если е, и е, — две

е е, — чем доказана единственность единицы е.

единицы, то 1 —

Далее, по закону обратимости II существуют элементы Ь и с,

для которых и ас==е. Тогда с

ес = с,

обладает свойством аа-1 т. е.

Итак, элемент а

является обратным для а. Если Ь и с— два любых элемента, обрат-

ных для а, то, как выше, докажем, что Ь Ьас

чем доказана

единственность обратного элемента.

Если сз и ф — любые решения уравнения то ас.1

Значит, ас, ас,. Умножая слева на а¯1, найдём с]

2-

Так же доказывается единственность решения уравнения

Теорема доказана.

Заметим, что из существования во множестве G единицы и

обратных элементов при наличии закона ассоциативности следует

выполнение в G закоиов обратимости. В самом деле, уравнение

ахх=Ь имеет решение а-1Ь и уравнение имеет решение ba¯1.

Таким образом, группу можно было бы определить как множе-

ство с ассоциативной операцией, обладающее единицей и обратными

элементами.

В примере 1 групп чисел по сложению единицей будет число О

и обратным элементом для числа а— противоположное число — а.

В примере 2. групп чисел по умножению единицей будет число 1

В при-

и обратным элементом для числа а— обратное число

мере З единицей будет е и каждый из элементов е и а будет об-

ратным для самого себя- В примере 4 единицей будет тождествен-

ное отображение множества М на себя, и обратным элементом для

отображения s будет обратное отображение .s-1.

Произведение п одинаковых сомножителей а называется п-й

степенью а и обозначается через ап-

Это определение имеет смысл для любого натурального числа п.

Для п определяем е, где е— единица группы О. Для це-

п МОЖНО определить

степень а

лого отрицательного п

либо как либо как Оба эти определения эквивалентнн,

так как

а) (а¯1а-1а 1

от (а (ааа .

т раз

т раз

откуда (а 1