114

понятня МНОЖЕСТВА, группы, кольцл И поля

VlI. (Обрат им ость умножения.) Для л.обых а и Ь из Р,

где а У: О, уравнение ижеет (по крайней мере одно) реше-

ные, т. е. существует элемент q€P такой, что Ь.

VIII. Р содержит по крайней мере один элелент, отличный

от нуля.

При меры полей. Из примеров 1—10 1

в предыдущем параграфе, только 2, З и 4, т. е. рациональные,

действительные и комплексные числа, явшпотся полями. В примере 5

свойство Vll выполнено, так как вообще нет элемента а 0, гю

не выполнено свойство VllI. В остальных примерах не выполняется

свойство V[l. Приведём ещё следующие примеры полей.

1. Множество комплексных чисел aA-bi с любыми раггиональ-

ными а, Ь (так называемое поле рациональных комплексных чнсе;г,

сравнить с примером 7 из S 7).

2. Множество действительных чисел вида а -4- Ь Й 2 с любыми

рациональными а и Ь (сравнить с примером 8 из S 7).

З. Множество всех рациональных функций с действительными

коэффициентами от одного или нескольких переменных.

4. Множество из двух элементов, которые мы обозначим через

0 и 1, при следующем определении операций:

Проверку свойств i —VIII мы предоставляем читателю.

Все теоремы из S 7, выведенные для колец, остаются верными,

в частности, для полей. Кроме того, из свойства VIl вытекаю г

аналогичные тем, которые были выведены в S 7 из

теоремы,

свойства lll.

Как всякое кольцо, поле является группой относительно опера-

ции сложения. Все элементы ноля, не равные нулю, образуют группу

относительно операции умножения. В самом деле, если а 760 и

Ь 0, то уравнение имеет решение q 0, ибо а • Ь

(S 7, теорема 1). Поэтому свойства умножения lV, V (S 7, опреде-

ление 1) и VlI доказывают наше утверждение. Группа по сложению

всех элементов поля называется аддитивной, а группа по умноже-

нию всех его элементов, отличных от нуля, —яулыпипликативноп

ерупной поля. Г1оле вполне определяется заданием двух этих групп,

заданием произведений ну.ш на все элементы и требованием дистри-

бутивного закона для любых его элементов, включая нуль. Отсюда

уже следует, что произведение любого элемента на нуль равно нулю

(S 7, теорема 1).

Из свойств мультипјшкативной группы (5 6, теорема 1) следует,

что в поле существует единица, т. е. такой элемент е, что еа а

для любого а из Р. В самом деле, для а 0 эго следует и * свойств

единицы труппы, а для а ==()—из свойства нуля при умножении.