группы, ко И ПОЛЯ

113

При выяснении того, является .ли данное множество кольца под-

кольцом, нет надобности проверять справедливость всех свойств

кольца. Большинство из них автоматически переходит с кольца на

любое его подмножество. Удобнее всего пользоваться для этого

такой теоремой:

Т е о р ем а 4. Для того чтобы непусп!ое подмноисество М

КОЛЬЦа R было его поОкольцом, необходимо и достаточно, чтобы

сумма, разность и произведение любых двух элементов из М снова

принадлежали М.

Доказа тель ст во. Для доказательства необходимости этих

условий предположим, что М является подкольцом R. Сложение

в М совпадает со сложением в R. Но из единственности обратной

операции следует, что и вычитание в М совпадает с вычитанием

в R. Поэтому сумма, ра.зность и произведение любых двух элемен-

тов из М (определённые в кольце R) должны принадлежать снова

к М, так как иначе одна из этих операций для данных двух эле-

ментов М была бы невыполнима в М, что про киворечит определе-

ник) кольца (см. определение 1) ч следующей из него выполни-

мости вычитания.

Для доказательс тва• достаточности предположим, что множе-

ство М удовлетворяет условиям теоремы. Так как сумма и произ-

ведение (определённые в R ) любых элементов из М снова принад-

лежат к М, то их можно принять за результат сложения и умно-

жения в М. Этим в М будут определены сложение и умножение.

Свойства 1, II, lV, V и VI переносятся автоматически с R на любое

его подмножество и, значит,. выполнены в М. Пусть а и Ь

элементы М. Тогда также есть эчемент М. Но по свой-

ству разности в R имеем:

а А— (Ь — а) — Ь или а + с Ь.

Таким образом, и свойство lll выполнено в М, и М является под-

кольцом кольца К).

S 8. 11оле

Примеры колец, приведённые в предыдущем параграфе, пока-

зывают, что в отноптении обратной операции для умножения (в от-

личие от сложения) различные кольца обладают совершенно раз-

личными свойствами. Так, в кольце целых чисел деление выполняется

лишь в исключительных случаях, причём все элементы кольца де-

— 1. В кольце же рациональных чисел деление

лятся на -4-1 и

всегда возможно (кроме деления на 0). Желая изучить свойства

обратной операции для умножения, мы приходим к важнейшему

частному случаю кольца — полю.

О пр е делен ие 1. Полем называется кольцо Р, обладающее

следующими свойствалис.

8 Энциклопедия, кн. 1.