116

ПОпятНЯ МНОЖЕСТВА, ггуппы, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

отображение всего кольца R на некоторое его подмножество М,

т. е. М. Но по теореме 1 из S 4 конечное множество R не

равномощно своему собственному подмножеству. Поэтому R

т. е. для любого элемента Ь К R существует в R элемент q такой,

что Ь, т. е. aq что и доказывает VlI.

Так как все элементы поля, отличные от нуля, образуют по

умножению коммутативную группу, то для любого элемента а 0

степень ап определена при любом целом показателе п, причем спра-

ведлнвы обычные свойства степени [см. S 6, (З) —

Для частного элементов любого поля верны те же правила опе-

рирования, что и для обыкновенных дробей. В главе V нам пона-

добятся следующие свойства частного:

Теорема З. (Свойства частного.) а) Еслн

а

с

шогДа и толысо тогда, когда ad bc;

то

б) если Ь 0, d (),

в) если Ь -7: О, d 0,

а

то

а

с

с

с

ad -3: bc

ас

ad

г) если Ь +0, c d#0, то

Доказательство. Помножая обе части равенства

Ь

d ¯ bc

а на

d

bd, получим: ad bc. Если. обратно, даЕю равенство ad где

а

с

и d $0, то, полагая

получим: ad,

откуда Умножая обе частн равенства на

с

а

и d-i, получим: х т. е.

Этим утверждение а) доказано. Утверждения б) и в) доказы-

ваются аналогично второй части утверждения а). Наконец, для дока-

за гельсгва утверждения г) доста точно убедиться, что

с ad

а

Но это равенство следует, очевидно, из в) и а). Теорема доказана.

Ха р а к те р и ст ика пол я. Существуют поля, содержащие

элементы а такие, что при целом п, отличном от нуля.

Так, в поле из двух элементов () и е (см. пример 4 в начале этого

параграфа) имеем: Справедливо утверждение:

Те орсма 4. Для любого поля Р имеет лесто один из двух

случаев:

а) для любого элемента а $ О и любого целого числа п О

кратное па также отлично ош нуля;