МНОЖЕСТВА

95

Пусть В о 0. Определим отображение f множеств•а М

в себя следующим образом:

f(an) а

для любого Ь ( В. Очевидно, что f является взаимно однозначным

отображением множества М на его собственное подмножество

что и доказывает теорему.

Дадим теперь другое определение понятий конечного и беско-

ночного множеств.

Оп р е д ел е ние 2'. Множество, не имеющее равномощного

с ниж собственного подмножества, а 1,чактсе пустое множество,

называется конечным. Множество, не являющееся конечным,

называется бесконечным.

Из теорем 1 и 7 следует эквивалентность определения 2' преж-

нему определению 2. В самом деле, если множество конечно в смысле

определения 2, то по теореме 1 оно конечно и в смысле опреде-

ления 2'. Обратно, если множество конечно в смысле определения 2',

то оно должно быть конечно и в смысле определения 2, так как

иначе оно было бы бесконечно в смысле определения 2 и по тео-

реме 7 бесконечно также в смысле определения 2', что невозможно.

Итак, оба определения конечных множеств эквивалентны. Отсюда

(посредством рассуждения от противного) сразу вытекает эквива-

лентность определений бесконечных множеств.

Отметим, что определение 2' имеет то (правда, лишь формальное)

преимущество перед определением 2, что оно формулировано в тер.ми-

нах общей теории множеств, тогда как определение 2 предполагает

известными свойства натурального ряда.

S 5. Упорядоченные множества

До сих пор мы изучали лишь такие свойства множеств, кото-

рые были связаны с основным отношением, существующим между

множеством и его элементами. Мы не рассматривали никаких со-

отношений между элементами одного и того же множества; все

они были для нас совершенно равноправны. Однако в математике

такие, так сказать, «чистые» множества встречаются редко. Обычно

изучаются множества, между элементами которых существуют те

или иные отношения, та или иная зависимость. Так; в геометрии

две прямые в одной плоскости могут пересекаться или быть парал-

лельными. Между тремя точками прямой существует отношение,

выражаемое словами «одна из трех точек лежит между двумя дру-

гими». В арифметике между числами существуют отношения а с

или ab==c и др. Одним из важнейших отношений, существующих

между числами, является отношение порядка. Числа той или иной

совокупности естественным образом располагаются в определённом