ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И ПОЛЯ

117

б) единственное простое число 1) р такое, что

для любого элемента а.

Док аза тель ст во. Пусть случай а) не имеет места, т. е. су-

ществуют элемент поля а и целое число п 0, для которых

Докажем, что тогда имеет место случай б). Для любого

Ь(-Р существует q такое, что aq Тогда по (5) из S 7 также

(aq) — (па) q • q 0.

Достаточно поэтому доказать, что случай б) имеет место для

какого-нибудь одного элемента а 0, например для единицы е. По

— пе Одно из чисел н-

доказанному значит, и (— п) е — —

п —n — положительное. Существуют, следовательно, натуральные

числа К такие, что Ке 0. Пусть р будет наименьшее из чисел К

с этим свойством 2).

Покажем, что р— число простое; р 1, так как 1 •

и Если р делится на q, где то и также

I r

ре (qr) (ее) (qe) (re) 0,

и ввиду отсутствия делителей нуля (теорема 1) . либо либо

что невозможно, ибо р — наименьшее натуральное число,

обладающее этим свойством. Пусть К — любое натуральное число

такое, что деля К на р, найдём: --i—r, где остаток r

удовлетворяет условию 0 < r

дует:

Значит, должно быть так как противоречит выбору р.

Итак, т. е. К делится на р, и если К отлично от р, оно не

может быть простым. Значит, р— единственное простос число, для

которого ре==0.

Эта теорема позволяет дать следующее определение:

О п р е д ел е н и е 2. Харакрперистикой поля Р называется

число 0. если па О для любого э„Еемента а 0 и любого целого

числа п и простое число р такое, что для любого

элемента а в про1пивнож случае.

Так как для числа 1 и любого целого п будет п • I то все

числовые поля имеют характеристику 0.

Пример поля характеристики р>О. Пусть п— любое

натуральное число, большее единицы. Тогда все целые числа могут

быть разбиты на классы, так что к одному классу принадлежат все

1) Пол простым числом понимается натуральное число, отличное от 1 и

пе делящееся ни на какое натуральное число, кроме 1 и самого себя.

2) Что всякое непустое множество натуральных чисел содержит пае,-

менынее число, будет доказано главе iil.