104

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И ПОЛЯ

Группы подстановок имеют большое значение в алгебре.

С йими связано решение вопроса о разрешимости уравнения

в радикалах, данное французским математиком Эваристом Галуа

(1811

1832).

Следствия из законов ассоциативности и комму-

та ти в нос т и. Закон ассоциативности I позволяет говорить о про-

изведении трёх элементов а, Ь и с группы G, понимая под этим

любое из равных произведений а (bc) и (ab) с, и писать рядом abc

без скобок. Можно, однако, и без закона ассоциативности индук-

тивно определить произведение

для любых п элементов а] , ав, . .. , ап

из G (обоснование

законности индуктивного определения будет дано в гл.

Именно:

1

п

Определение З.

щ для любого элеяента ад из (7;

fia-gi! )

Согласно этому определению имеем, например:

(0102) аз,

а,аяаза,

[(0102) 03]

Произведение двух произведеиий также можно представить

в виде произведения всех встречающихся элементов,. а именно:

(а102 ...

ат) (атмат„ •

или в сокращённой записи:

а,а2 ап

ае

(1)

Докажем равенство (1) при заданном т индукцией по п. При

п оно вытекает прямо из определения З. Если (1) верно для