ГРУППЫ,

выполнеи, так как если г, s,

любого а из М находим:

Но также

Таким образом,

кольца и поля

103

t— три любых элемента из О, то для

(ar) (st) [(ar) s] t.

а [(rs) t] [а (rs)] [(ar) s]

а [r(st)] [(rs) t]

для любого а из М. Это значит, что r(st)==(rs)t (оба отображения

получаются в результате последовательного выполнения данных ото-

бражений г, s, t).

Докажем выполнение в закона обратимости II. Пусть s и t—

любые отображения из О. Для взаимно однозначного отображения s

существует также взаимно однозначное обратное отображение s¯

-1 s-1s е,

(S З). Именно, если то bs-1 —

— а. Очевидно, что ss

где е— тождественное отображение множества М на себя, и что

для любого отображения х из О. Предположим, что

в G существует отображение и такое, что Умножая это

равенство слева на s 1

получим:

(su) = s-1t.

По закону ассоциативности найдём: s-1 (su) (s-1s) И и,

т. е. Итак, уравнение может иметь решение лишь

s-1t. Но это отображение действительно удовлетворяет уравнению

так как

s (s¯1t) (ss-i) t et

Аналогично доказывается, что уравнение ys=ct имеет единственное

решение

Итак, — группа. Она называется группой преобразования яно-

жества М. Для конечного М- группа иазывается также группой

подстановок яножества М.

Если М содержит более двух элементов, то группа подстано-

вок не коммутативна. Так, группа подстановок трех чисел 1, 2, З

содержит шесть элементов. Обозначая каждую подстановку двумя

строками, где под каждым числом стоит число, ему соответствующее,

запишем их в виде

231l'

Перемножая, находим:

23 32) (

231]

т. е. произведение меняется при перемене

123 [123

312'\321

(1 23

порядка сомножителеИ.