112

ПОНЯТИЯ , ГРУППЫ, КОЛЬПЛ И ПОЛЯ

Второе вытекает из первого:

Третье следует из первых двух:

— ba — ab.

¯ ab) ab.

По индукции законы дистрибутивности обобщаются на любое

конечное число слагаемых, а затем и на произведение двух сумм.

Справедливы, таким образом, равенства

aib, а bi

Отсюда и из свойств

мых каждой сум.мы, т. е.

следует далее:

(на) Ь

кратного [S 6,

при

(7)] при

а (1lb) (ab),

(па) (mb) п [т (ab)] (пт) (ab).

(4)

совпадении слагае-

т),

(5)

В главе lV нам понадобятся следующие свойства разности эле-

ментов кольца:

Теорема З. (С войства разности.) В любом кольце раз-

элементов обладает следующими свойствами:

а) a—b==c—d тогда н только тогда, когда с;

г) (а — Ь) (с — d) (ас —Е bd) (ad -1- bc).

Доказательство. Прибавляя b-f-d к обеим частям равен-

ства а —d, получим: + с. Обратно, прибавляя

(— Ь) (—d) к обеим частям второго из этих равенств, получим

первое. Этим доказано а). Равенства б), в) и г) доказываются ана-

логично.

Подкольцо. Опред ел е ние З. Подмножество М колыш R

называется подкольцож, если оно само является кольцом при тех

же операциях слотсения и умножения, которые определены

в кольце R.

Так, кольцо чётных чисел является подкольцом кольца целых

чисел, а последнее в свою очередь — подкольцом кольца рацио-

нальных чисел.