88

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы,

(то же для интервалов). Этим доказано,

ветственно, (а, Ь)

КОЛЬЦА И ПОЛЯ

что [а, bl

[с, d] (соот-

При мер 8. Функция у tgx устанавливает эквивалентность

интервала

множеству всех действительных чисел.

Пример 9. Считая соответствующими друг другу числа, стоя-

щие одно под другим

2,

1,

2,

4,

1,

з,

6

10, 100, 1000, . .

2,

з,

в следующих строках:

2n

2п—1,. . . ,

(Рп — п-е — простое число),

мы заключаем, что множества всех натуральных чисел, чётных чи-

сел, нечётных чисел, степеней 10, простых чисел все имеют одну

и ту же мощность, хотя первая из них является собственным над-

множеством остальных.

При мер 10. Множество натуральных чисел равномощно мно-

жеству рациональных чис ел. В самом деле, любое рациональное

число, отличное от нуля, однозначно записывается в виде несокра-

Р

где принято (т. е. знак отнесён к числителю).

тимой дроби

4'

о

Из возможных записей для нуля: О—

о

. выберем

Тогда запись вида

одну: Т

однозначно определена для всех

рациональных чисел (в частности, при 1 получатся все целые числа).

Высотой числа назовем натуральное число р —1— q, где р —

— абсолютная величина р. Тогда все рациональные числа можно

расположить в одну последовательность, располагая их в порядке

возрастания высоты, а числа с “одинаковой высотой— в порядке

возрастания числителя. Таким образом, получим последовательность

з

2,

2

2 , + -12- , +2, —3,

1

3 , + 13 —1— З,

Так как чисел данной высоты п — лишь конечное число [имен-

но, не более 2 (п— 1), ибо числитель меняется от — (п— 1) до

-Е(п— 1), исключая значение 0], то перед каждым данным числом

в последовательности стоит лишь конечное число чисел- Поэтому,

нумеруя числа последовательно по порядку натуральными числами,

мы действительно занумеруем все рациональнК1е числа, что и дока-

вывает требуемую равномощность.