78

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

ностью, когда применение математики даёт ожидаемые нами резуль-

таты. Последнее возможно только потому, что математические

истины являются лишь отражением объективных закономерностей

природы.

Число является основным орудием, при помощи которого мате-

матика изучает закономерности реального мира. Современное по-

нятие о числе явилось результатом сложного и длительного про-

цесса исторического развития. После натуральных чисел появились

числа дробные, затем иррациональные и, наконец, отрицательные,

комплексные. Настоящая статья јшшь в самых общих чертах касается

истории развития понятия числа, ставя своей задачей выяснение

логической сущности этого понятия в его современном виде. Чи-

татель не найдет здесь большого числа новых для него свойств

чисел. Не знакомство с новыми свойствами, а обоснование свойств

чисел, известных каждому со школьной скамьи,

— главная цель дан-

ной статьи.

Доказательство даже самых простых свойств чисел, как, напри-

мер, переместительного или соче гательного закона сложения, тре-

бует точного определения числа и встречает поэтому знађительные

трудности. Тем не менее нам кажется, что учителю, ежедневно

говорящему учащимся об этих свойствах чисел, нужно самому иметь

представление о том, как они доказываются. Это весьма полезно

с точки зрения развития общей математической культуры и для

наиболее одарённых и интересующихся математикой школьников

старших классов. По тем же соображениям статью можно рекомен-

довать студентам педагогических институтов. Так как построение

действительных чисел входит в курс математического анализа, а

в курс высшей алгебры физико-математиче-

комплексных чисел —

ских факультетов университетов, то соответствующие главы статьи

можно рекомендовать студентам указанных факультетов.

Кроме обоснования свойств чисел, второй целью статьи является

введение читателя в круг основных идей и понятий современной

математики. К числу таких идей принадлежит представление об изо-

морфизме, а к числу понятий — понятия о множестве, группе, кольце

и поле. Применение указанных общих понятий позволяет избежать

многократного и утомительного повторения одних и тех же рас-

суждений при доказательстве аналогичных свойств чисел той или

иной природы и позволяет читателю охватить свойства различных

числовых областей с общей точки зрения. Конечно, у читателя, не

знакомого с этими понятиями, такое изложение вызовет дополни-

тельные трудности, так как этому новому взгляду на числа ему

придётся действительно учиться. Ознакомление с этими идеями и

понятиями современной математики представляет значительную

часть того нового, что узнает читатель из настоящей статьи. Изло-

жение обоснования понятия числа с точки зрения теории колец и

полей может, как нам кажется, заинтересовать также и специалиста.