86

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, группы, кольц,', и ПОЛЯ

Если элементу х соответствует у, то у называется образом

элемента х, а х— прообразом элемента у. Пишут: х или у

Множество А всех элементов х € Х, имеющих один и тот

же образ уе У, называется полным прообразом элемента у.

Пример 4. Пусть действительных чисел. Со-

ответствие х—» 1 х 1 будет отображением множества D в себя же и

отображением D на множество неотрицательных чисел. Прообразом

числа 0 будет один 0, число имеет два прообраза: -Fy и — у.

При мер 5. Поставим в соответствие каждой точке квадрата

её проекцию на основание. Получим отображение квадрата на

отрезок. Полным прообразом каждой точки основания будет мно-

жество всех точек квадрата, лежащих на перпендикуляре к осно-

ванию, восставленном в данной его точке.

Примеры 4 и 5 показывают, что при отображении множества

Х в У, с одной стороны, некоторые элементы из У могут вовсе не

иметь прообразов, а, с другой стороны, могут быть элементы, име-

ющие несколько (даже бесконечно много) прообразов. Если нет ни

того, ни другого, то отображение называется взаимно однозначным.

Таким образом, мы приходим к следующему определению:

О п р е д е л е н и е З. Взаимно однозначным соответствием

яежДу множествами Х и У (или отображением Х на У) назы-

вается соответствие (соответственно, отображение), обладающее

следующими треля свойствами: 1) каждому элементу яножеотва Х

соответствует один и только один элеяен1п яножества У;

2) двуя различным элементал лнозсесгпва Х всегда соответ-

ствуют два различных элемента янотсества У; З) всякий элемент

яножества У соответствует хотя бы одному эле.иенту множе-

ства Х.

Заметим, что первые два свойства дают взаимно однозначные

отображения Х на некоторое подмножество У. В этом случае го-

ворят о взаимно однозначном огпображении Х в У.

Если есть взаимно однозначное отображение Х на У,

то каждому уб У можно поставить в соответствие тот единственный

элемент х€Х, образом которого при отображнии f является у. Это

соответствие называется обратным отображением для отображе-

ния f и обозначается через f-l. В качестве упражнения предлагается

доказать, что Г 1 есть также взаимно однозначное отображение У

на Х и что обратным для отображения f-1 будет исходное ото-

бражение f.

Опр е деле ние 4. Два множества Х и У, яелсДу которыми

можно установить взаимно однозначное соответствие, называются

равномощными (или эквивалентными), что обозначается сим-

волом Х У.

О равномощных множествах говорят также, что они имеют оди-

наковую мощность. Условимся считать, что пустое множество равно-

мощно только самому себе.