МНОЖЕСТВА

87

Зам е чан и е. Выше мы дали определение понятия равномощ-

ности, но не понятие мощности. Можно сказать, что мощность есть

то общее, что имеется у всех равномощных между собой множеств.

Впрочем, всюду достаточно понятие равномощности.

Соотношение равномощности обладает следующими тремя основ-

ными свойствами:

1) рефлексивно ст ь: Х—иХ;

2) симметрия: если то У о— Х;

3) транзитивность: если Х г— У и У ем 7., то

Для доказательства, например, первого из них достаточно каж-

дому элементу ХЕХ поставить в соответствие его же самого (то-

ждественное отображение), что уже даёт взаимно однозначное ото-

бражение множества Х на себя. Доказательство остальных двух

свойств предоставляется читателю.

Мощность множества характеризует, так сказать, «количество»

его элементов. Однако при этом может оказаться, что «часть равна

целому», т. е. множество может иметь одинаковую мощность с его

собственным подмножеством.

П р имер 6. Функция 10 х, где х— действительное число,

устанавливает равномощность отрезка [0, 1] и в 10 раз более длин-

ного отрезка [0, 10]. Таким образом, в смысле мощности «коли-

чество» точек обоих отрезков одинаково.

Пример 7. Два любых отрезка [а, Ь] и [с, d], а также два

любых интервала (а, Ь) и (с, d) равномощны.

Для доказательства достаточно рассмотреть функцию

Во-первых, каждому действительному числу х однозначно соот-

ветствует у, причём легко видеть, что а —»с и Ь —>d. Далее,

пусть

Согласно определению отрезка и интервала (см. стр. 82) а и

d—c

0. Поэтому ут <у,. Итак, если

c

а 4 х 4 Ь (или а Ь), то и (соответственно,

Значит, точкам отрезка [а, Ь] соответствуют точки

отрезка [с, Щ, причём различные точки переходят в различные же

(и то же верно в случае интервалов). Наконец, обратное отобра-

жение

обладает теми же свойствами, откуда следует, что для каждого у

из [с, Щ найдётся од :н (и даже только один) прообраз х из [а, Ь]