82

понятия МНОЖЕСТВЛ, группы, кольцт и поля

никто не рождается и не умирает, о мј;ожесгне молекул воды в

данном стакане и т. д.

Всё это — конечные множества. Приведём некоторые примеры

бесконечных множеств, кроме упоминавшихся выше множеств нату-

ральных чисел, чётных натуральных чисел, рациональных чисел, дей-

ствительных чисел и др.

Пусть а и Ь— два действительных числа, причём a

жество всех действительных чисел х, для которых а назы-

вается отрезном с концами а, Ь и обозначается через (а, Ь]. Мно-

жество (а, Ь) всех х, для которых а называется интер-

валом с концами а, Ь. Далее полуинтервалами называются

множества [а, Ь) тех х, для которых а и (а, Ь] тех х,

для которых a

конечность), — х) (минус бесконечность). Они не являются числами

и вводятся лишь для удобства записи. Тем не менее для более

лёгкого обращения с ними условимся говорить, что больше,

а меньше любого действительного числа. Тогда можно ввести

обозначения, аналогичные приведенным выше, для бесконечных по-

луинтервалов и интервалов. Именно: [а, чисел х,

для которых а х,

— множество чисел х, для которых

х < Ь, (а, + с») — множество чисел х, для которых а х, (— N, Ь) —

множество чисел х, для которых .x

ство всех действительных чисел.

S 2. Операции над множествами

ОббеДинениея множеств А и В называется множество элемен-

тов, принадлежащих по крайней мере одному из данных множеств

(т. е. либо А, либо В, либо одновременно и А и В). Пишут А [јВ

и читают «объединение А и В».

Пересечением множеств А и В называется множество элементов,

принадлежащих одновременно и А и В. Пишут А П В и читают

«пересечение А и В».

Разностью множеств А и В называется множество элементов,

принадлежащих А и не принадлежащих В. Пишут А ХВ и читают

«разность А и В» 1).

Пример 1. Пусть А есть отрезок [1, З], В—отрезок [2, 41;

тогда объединением АШ В будет отрезок [1, 4], пересечением АПВ—

отрезок [2, З], разностью А ХВ — полуинтервал [1, 2), ВЖА

полуинтервал (З, 4].

Пр имер 2. Пусть А есть множество прямоугольников, В—

множество всех ромбов на плоскости. Тогда АПВ есть множество

всех квадратов, АХВ — множество прямоугольников с неравными

сторонами, ВЖА — множество всех ромбов с неравными углами.

1) Некоторые авторы применяют обозначения А+В, АВ, А — В, но в

алгебре вто не удобно из-за смешения с алгебраическими операциями.