МНОЖЕСТВА

S 4. Конечные и бесконечные множества

89

Все указанные в предыдущем параграфе множества, равномощ-

ные собственным подмножествам, были бесконечны. Мы сейчас уви-

дим, что это не случайно (см. ниже теорему 1). Однако сначала

необходимо дать строгое определение понятия конечного и беско-

печного множества. При этом нам придётся существенно использо-

вать свойство натуральных чисел, строгое обоснование которых

будет дано лишь в главе III. Читателю нужно убедиться, что в

наших рассуждениях нет порочного круга. Для этого достаточно

йроверить, что при обосновании в главе III свойств натуральных

чисел, применяемых в первых двух главах, мы нигде не пользуемся

полученными в этих главах результатами.

Определение 1. Множество натуральных чисел, я"ньши.х

или равных некоторому натуральному числу п, называется от-

резком натурального ряда и обозначается через 1, п 1.

Опр е деление 2. Множество, равномощное отрезку нату-

рального ряда, а также пустое лноэюество, называется конечным.

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Иными словами, конечное множество (если оно не пусто) есть

такое множество, элементы которого можно «пересчитать», т. е.

перенумеровать так: ар а,д, ап, причём все элементы будут за-

нумерованы, все числа от 1 до п будут использованы и различные

элементы получат различные номера. Бесконечное же множество

такое, элементы которого так «пересчитать» нельзя.

Из свойств 2) и З) равномощности, приведённых в предыдущем

параграфе, следует, очевидно, что множество, равномощное конеч-

ному (или бесконечному) множеству, само будет конечным (соот-

ветственно, бесконечным).

Теорема 1. (Основная теорема о конечных мно-

же с т в а х.) Конечное лноэюество не равномощно никакому его

собственному подмножеству и собс1пвеннолу надмножеству.

Док аза тель ст во. Каждое из двух утверждений теоремы

(о неравномощности подмножеству и надмножеству) легко следует

из другого, так как, если А е— В и А о В, то из конечности одного

из множеств А и В, как было отмечено выше, следует конечность

другого. докажем, например, что конечное множество А не равно-

мощно его собственному подмножеству. Для пустого множества

А теорема верна, так как пустое множество вовсе не имеет

собственных подмножеств. Пусть А :/-: 0. Тогда по определению ко-

нечного множества множество А равномощно (по крайней мере

одному) отре.зку натурального ряда 1, п 1. Докажем индукцией по

числу п 1), что А нельзя взаимно однозначно отобразить на его соб-

1) Заметим, что нельзя вести индукцию по числу элементов множества

А, так как понятие о числе элементов вводится ниже с применением

теоремы 1.