При это.м хотя бы одна из цифр а, отлична от нуля (ибо число

не принадлежит , интервалу). Далее, для чисел, имею-

щих запись в виде конечной десятичной дроби, существует и другая

запись, где все цифры ai, начиная с некоторого места, равны 9.

МНОЖЕСТВА

0,53000 ... —0,52999 ...

93

Например,

Остальные числа- (т. е. иррациональные и те рациональные, которые

разлагаются в периодическую дробь с периодом, не равным 9)

имеют единственную запись 1). Из двух возможных записей для

первых чисел мы выберем какую-нибудь одну, например, в виде

конечной десятичной дроби. Тогда все числа интервала (0, 1) будут

единственным образом записываться в виде

где не все ai равны О и никогда все цифры, начиная с некоторой,

не могут равняться 9. Обратно, всякая такая десятичная дробь даёт

число интервала (0, 1).

Легко видеть, что интервал (0, 1) есть бесконечное множество,

ибо он содержит множество

1

равномощное множеству натуральных чисел (см. теорему 5). Пока-

жем, что (0, 1) не является счётным множеством.

Предположим обратное. Тогда все числа интервала можно за-

нумеровать так:

C1, C2, сз,

Запишем каждое число десятичной дробью

указанного вида:

а 22

ап2

аш, ...

аи

а

33 •

апз •

(4)

с

Построим теперь число

следующим образом: берём цифру Ь], отличную от О и 9; бе-

рем b2, отличную от [122, 0 и 9; Ьз, отличную от азз, О и 9; bn, от-

личную от а , 0 и 9, ... Наличие десяти цифр оставляет для такого

1) См. стр. 253, А. Я. Хин ч и н, Элементы теории чисел.