ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Для доказательства первого равенства надо проверить, что эле-

мент (а — удовлетворяет определению разности элементов ас

и bc. Но действительно

bc 4- (а — Ь) с [Ь —Г- (а — Ь)] с ас.

Второе равенство доказывается аналогично.

Докажем теперь, что нуль кольца обладает обычным свойством

при умножении:

Тео рема 1. Если один из сомножителей равен нулю, то и

всё произведение равно нулю, т. е.

а.О=О, О.а=О

для любого а.

(2)

Докажем лишь первое из равенств, так как второе вытекает из

первого при помощи lV. По определению нуля и разности —b

для любого Ь. Отсюда а •

Однако теорема, обратная теореме 1, верная для чисел, уже не

сохраняется для любых колец, иными словами, если произведение

двух элементов кольца равно нулю, то нельзя утверждать, что

хотя бы один из них равен нулю. Так, в приведённом выше при-

мере 10 кольца, составленного яз пар (а, Ь) целых чисел, нулём

является, очевидно, пара (0, ()). Если взять целые числа а 0

и Ь 0, то пары (а, 0) и (0, Ь) отличны от нуля кольца, но

Опр е деление 2. Элементы а и Ь кольца, для которых

а +0, 0, но называются Делителями нуля. Кольцо

без Делителей нуля называется также областью целостности.

Теорема 2. Из следует если только а ф 0 и

не является Делителем нуля.

Док а за тель ст во. Из следует ab или

Но так как а и не делитель нуля, то

В дальнейшем нам придётся иметь дело исключительно с коль-

цами без делителей нуля. Для них из ab и а 0 следует Ь

При умножении справедливы обычные правила знаков 1), а именно:

а (— Ь) ab, Ь ab, (— а) Ь)

(3)

Первое из этих равенств доказывается так:

откуда а (—

1) Заметим, что не следует пользоваться терминами «положительный»

и «отрицательный» элемент, как для чисел. Эти понятия для шобых колец

будут введены в S 10. Пока же элементы а и — а вполпе равноправны,

каждый из них является противоположным для другого, и если обозначить — а

через Ь, то а придется обозначить через— Ь.