98

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Читателю предоставляется доказать, что отношение подобия

обладает следующими тремя свойствами:

1. Рефлексивно&ть: АдзА.

II. Симметрия: если АазВ, то ВазА.

llI. Транзитивность: если А;мГЗ и ВњзС, то А азС.

Сравнивая определение подобия с определением равномощности

(S З, определение 4), мы убеждаемся, что первое включает второе,

т. е. верна следующая

Т е о р е ма З. Подобные множества равножощны; из А азВ

слёДует А В.

Обратное утверждение не верно. Так, множества (1) и (2) равно-

мощны (даже просто равны как неупорядоченные множества), но

не подобны, так как множество (1) имеет первый элемент, а мно-

жество (2) —не имеет, тогда как при соответствии подобия первому

элементу одного множества должен соответствовать первый элемент

другого. Тем не менее для конечных множеств теорема, обратная

теореме З, также верна. А именно:

Т е о р е ма 4. Если конечные, упорядоченные множества равно-

лощны, то они подобны.

Эта теорема ввиду свойств 1— III подобия является непосред-

ственным следствием приведённой ниже теоремы 7. Для любых

множеств в известной мере обратной теореме З является следующая

теорема:

Т е о р е ма 5. Любое лноэюество А, равномощное упорядочен-

ному янотсеству В, сажо ложно упорядочить, т. е. определить

для его элементов отношение порядка, обладающее свойстважи

и ll 1), и притол так, что полученное упорядоченное лноэюество

подобно В.

Доказа тель ст во. Если и 02 — любые элементы мно-

жества А, b1 и Д — соответствующие им, при взаимно однозначном

отображении А на В, элементы В, и b1 то положим

(22.

Легко проверить, что определённое так отношение порядка в А

обладает свойствами I и ll и, очевидно, А подобно В.

Т е о р е ма 6. Любое конечное упорядоченное ,яноэюество А

содерэюшп первый и последний элемент (если только А непусто).

Доказа тел ь с т во. Пусть А не имеет последнего элемента.

Берём любой элемент А. Так как он не последний, то существует

а • так как а, — не последний, то существует

А такой, что

аэ. Если элемент ап построен, то существует

аз А такой, что

апн А такой, что ап По индукции элемент ад построен для

любого п. Пусть

ал, аз,

1) Справедлива даже теорема, что любое множество можно, как говорят,

вполне упорядочить (см. стр. 99), но её доказательство выходит за рамки

нашей стаОи.