Свойство произведения (1) при совпадении сомножителей обра-

щается в известное свойство степени

ГРУППЫ, КОЛЬЦ.Т И ПОЛЯ

. (аЬ)П апр.

107

(3)

Дај[ее, индукцией по п легко

Для коммутативных групп из

жителей (2) следует:

Мы указали, как равенства

доказать, что

возможности перестановки сомно-

(5)

(З), (4) и (5) доказываются для

натуральных чисел т и п, однако эти равенства остаются верными

для любых целых чисел т и п, что можно проверить путём рас-

смотрения всевозможных случаев т (), п О.

Из однозначности решений уравнений и следует

наличие в группе G обеих обратных операций для операции умно-

жения. В случае коммутативиой группы G обе эти обратные опе-

рации совпадают. В самом деле, если с— решение уравнения

то Значит, т. е. с— решение уравнения

Оп ре де лени е 5. Операция, обратная для операции умно-

жения в кольиутативной группе О, называется Делением. Её ре-

вуль•пат для элементов а и Ь, т. е. решение уравнений Ь

и называется частным элеяентов Ь и а и обозначается

через Ь: а или

А д ди ти в ная за пи с ь. Групповая операция может обозначаться

через а е-}-Ь и называться сложениея. Тогда говорят об аддитивной

записи группы. В этом случае группа обычно предполагается ком-

мутативной. При аддитивной записи вместо 1 говорят о нуле и

вместо обратного элемента а-1 о противоположном элементе — а.

Далее, вместо степени ап говорят о кратном па (не следует пони-

мать па как произведение п и а, ибо целое число может и не быть

элементом группы G). Итак,

п раз

Для аддитивно записанной группы

чается так:

02

сумма п элементов обозна-