90

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

ственное подмножество В. Для п это очевидно, так как

1 и содержит лишь один элемент. Единственным его соб-

АСМ11,

СТВеННЬIМ подмножеством будет причём А не равномощно В.

Предположим, что теорема доказана для натурального числа

п, и докажем её для числа пф 1. Итак, пусть 1, п + 1 и /

есть взаимно однозначное отображение А на В. Занумеровав эче-

менты А соответствующими им числами, получим:

щ, , апн

Для В утверждение справедливо. Если В * 0, то без огра-

ничения общности можно предположить, что € В. Иначе берём

элемент и строим новое множество В], полученное из В за-

меной элемента Ь на а п +1, и новое отображение Л, которое совпа-

дает с f для всех элементов множества А, кроме элементов а со

свойством причём для этого элемента а полагаем Л (а)==

а пн. Тогда Л будет взаимно однозначным отображением А на

собственное подмножество 131, содержащее а н. Далее, • без огра-

ничения общности можно считать, что а п +1. Иначе пусть

f(a;) аи +1 и Тогда строим новое отображение Л,

совпадающее с f для всех элементов А, кроме а, и а Пф 1, причем

полагаем Л и Л (а п апн. Итак, пусть а п +1 В

а п +1, пусть также и В Мапн}. Так как

В— собственное подмножество А, то существует элемент А ХВ.

Так как апн € В, то а' адм. Поэтому а'€ А'ХВ'. Значит, В' есть

собственное подмножество А'. Так как

пол, то отображе-

ние f устанавливает равномощность множеств А' и В', но А'

, ав} 1, п . Мы получили противоречие с предпо-

ложением индукции, чем наше утверждение, а значит, и вся тео-

рема доказаны.

Из теоремы 1 легко следует

Т е о р е м а 2. Всякое непустое конечное множес1пво равномощно

ОДНОМУ н только однолу отрезку натурального ряда.

Доказа тель ст во. По определению 2 непустое конечное

множество А равномощно по крайней мере одному отрезку натураль-

ного ряда. Если бы оно было равномощно двум различным отрез-

кам А ем | 1, Т 1, А 1, Щ, Т ТО ПО свойствам равномопшости

будет: 1, т 1, п 1, что противоречит теореме 1, так как один

из двух различных отрезков натурального ряда является собствен-

ным подмножеством другого.

Опре дел е ние 3. Однозначно определённое для Данного не-

пустого конечного лноэюес1пва А натуральное число п такое, что

А 1, п 1, называется числоМ элементов жнотсества А. Числом

элементов пустого яножества называется цисло 0.

Из свойств равномощности следует, что два конечных множества

тогда и только тогда равномощны, когда они имеют одно и то же