МНОЖЕСТВА

99

множество всех построенных элементов. Очевидно, что из сле-

дует по свойству ll ак ак, откуда по свойству 1 ai щ. Значит, N'

равномощно множеству натуральных чисел. Поэтому множество А

бесконечно (S 4, теорема 5), что невозможно. Существование первого

элемента доказывается аналогично.

Т е о р е м а 7, Любое конечное лноэюество ложно упорядочпупь.

Все конечные упорядоченные лнотсества с одним и тел же числоя

элементов п подобны отрезку 1, п натурального ряда и, зна-

чит, подобны летсДу собой.

До казательство. Пустое множество упорядочено по опре-

делению. Если А 4: О—конечное множество, то А г— ' 1, п]. Отре-

зок 1, п], очевидно, есть упорядоченное множество. По теореме 5

множество А можно упорядочить. Пусть теперь А — любое конеч-

ное упорядоченное множество с числом элементов п По тео-

реме 6 множество А содержит первый элемент (11. Если 1, то

множество

(7,1 4: О

и снова содержит первый элемент (22, причём al Пусть уже

построен элемент ае Если i

и по теореме 6 оно содержит первый элемент а, + 1 , причем а, <

Так мы построим элементы at для всех к; п. Множество

(12, ... , п

Множество А не равномощно собственному подмножеству (S 4, тео-

рема 1). Значит,

Очевидно, что из следует аб(ак, т. е. А подобно от-

резку 11, п 1.

Ид этой теоремы следует, что все п! возможных перестановок

множества с п элементами имеют один и тот же тип.