92

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬПА И ПОЛЯ

До сих пор мы ещё не доказали бесконечности какого-либо

множества. Но из теоремы 1 следует

Т е о р е м а 5. Множество N всех натуральных чисел, а также

любое лнотсество, содержащее подмножество, равномощное N,

бесконечны.

Д ок аза тел ь с т в о. Множество N бесконечно, ибо отображе-

ние 1 для любого натурального числа п отображает

взаимно однозначно 1, 2, З, .

на его собственное под-

множество М 2, З, 4, ...

Значит, любое множество М, равно-

мощное N, бесконечно, а по теореме З и любое множество,

содержащее подмножество М, равномощное N, также беско-

нечно.

П р и м е р ы. Множества действительных или комплексных чисел

содержат множество N натуральных чисел и, следовательно, бес-

конечны. Отрезок [О, 1] также есть бесконечное множество, так

как он содержит множество N' чисел вида

равномощное N.

Опр ед ел е ние 4. Множество, равномощное множеству на-

туральных чисел, называется счётным.

Иными словами, счетное множество — это такое множество,

элементы которого можно «перенумеровать» при помощи натураль-

ных чисел так, чтобы при этом все числа были использованы и раз-

личные элементы всегда имели бы различные номера. Таким обра-

вом, счётное множество А всегда можно записать в виде

Как показывают примеры в конце предыдущего параграфа,

множества чётных или нечетных чисел, а также множество рацио-

нальных чисел счётны„

О пределен ие 5. Множество, не являющееся конечныц пли

счётным, называется несчётным.

Следующий пример показывает, что такие множества действи-

тельно существуют 1).

Множество всех действительных чисел несчётно. Заметим сначала,

что из примеров 2 и З предыдущего параграфа следует равномощ-

ность этого множества интервалу (0, 1). Достаточно поэтому дока-

зать несчётность последнего.

Мы будем считать известным, что каждое число интервала (0, 1)

записывается в виде конечной или бесконечной десятичной дроби

вида

0, а1 а, аз ...

1) Существует даже бесконечно много различных мощностей, на чём

мы останавливаться не будем, отсылая желающих к уже упомянутым выше

книгам Р], стр. 40 или