96

понятия МНОЖЕСТВА, группы, кольцл и поля

порядке, именно, в возрастающем порядке. Так, для множества на-

туральных чисел таким естественным порядком будет расположение

В настоящем параграфе рассматривается понятие порядка в самом

общем виде, т. е. для любых множеств.

О пр е дел е ние 1. Множество М называется упорядсменныж,

если летсДу его элементали установлено некоторое отношение

Ь 1) (читают: «а предшествует Ь»), обладающее следующими

свойствами: 1) между любыми Двумя элелентаяиа и Ь су1цествУет

одно и только одно из TPLv соотношений: a

2) для любых трех элементов а, Ь и с из а<Ь, сле-

дует а

Пустое яноэюество считается упорядоченным-

Замеч а ни е. Знак

мы всегда понимаем в смысле тождества,

совпадения элементов. Запись а просто означает, что буквами а

и Ь обозначен один и тот же элемент множества М. Поэтому из

свойства 1) следует, что между двумя р а зл и ч н ы ми элементами

выполняе гся одно и только одно из двух соотношений а или

Если а предшествует Ь, то говорят, что Ь следует за а и пишут:

Отношение а обладает, как легко проверить, свойствами,

аналогичными 1) и 2). Его можно принять за основное, определив

тогда через него отношение (см. ниже S 9).

Если в упорядоченном множестве М поменять ролями отноше-

ния и т. е. вместо писать a>b, и наоборот, то полу-

чится новое упорядоченное множество М, порядок которого назы-

вается обратным относительно порядка М. Например, для приве-

денного выше порядка во множестве натуральных чисел обратным

будет порядок:

Два упорядоченные множества, составленные из одних и тех же

элементов, но расположенные в разном порядке, считаются различ-

ными. Поэтому при задании упорядоченного множества через его

элементы необходимо указать их порядок. Мы будем считать, что

запись слева направо соответствует порядку элементов, и сохраним

прежнее обозначение фигурными скобками. Одно и то же множество

можно упорядочить различным образом (если оно содержит не менее

двух элементов).

дочить обычным

числа поставить

1) Не следует

Так, множество натуральных чисел можно упоря-

образом или в обратном порядке, можно нечётные

впереди чётных или наоборот, располагая те и дру-

смешивать смысла этой записи с неравепствами чисел.