102

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И ПОЛЯ

В одном и том же множестве может быть задано несколько

алгебраических операций. Желая изучать общие свойства сложения

и умножения чисел, мы рассмотрим сначала множества с одной

алгебраической операцией. Таким образом, мы приходим к первому

из основных понятий современной алгебры, именно к понятию

группы.

О пределе н ие 2. Непустое жноэ,сество G называется груп-

пой, если в нём определена алгебраическая операция, называемая

уянотсениея, которая котсдыя двум элементая а, Ь из G ставит

в соответствие элемент ab также из О, называемый их произ-

ведением, и обладает нижеследующими свойствами:

1. (За кон ассоциа т ив ност и.) с 1);

II'. (Закон обратимости.) Для любых а и Ь из G уравне-

ния и разрешимы в 0, т. е. в G существуют эле-

женты с и d такие, что Если групповая- операция

коммутативна, т. е. ab для любых а, Ь из О, то группа G на-

зывается коммутативной 2).

Приведём несколько примеров групп.

П ри мер 1. Все целые, все рациональные, все действитель-

ные и все комплексные числа являются группами относительно опе-

рации сложения чисел, играющего роль групповой операции умно-

жения.

Ни одно из этих множеств не является группой относительно опе-

рации умножения чисел, ибо уравнения 0 • 1 не имеют решения.

Пример 2. Все рациональные, все действительные и все ком-

плексные числа, исключая число 0, являются группами относительно

операции умножения чисел.

Пр имер З. Множество G двух элементов е и а с операцией,

заданной равенствами является группой.

Все эти группы коммутативны.

П ри мер 4. Пусть множество всех взаимно однозначных

отображений множества М на себя (5 З, определение З). Образ

элемента а (-М при отображении s€ G будем обозначать через as.

Произведением st двух отображений s и t из G назовём отображе-

ние, полученное в результате последовательного выполнения данных

отображений (сначала s, затем Ё), т. е. полагаем

а (st) (as) t

для любого • М 3). При таком определении операции умножения

множество является группой. В самом деле, закон ассоциативности

1) Знак = обозначает, как всегда, совпадение элементов.

я) Коммутатив\тые группы называются также абелевыми.

в) Можно под произведением st понимать выполнение сначала t, а 33-

тем s. Тогда образ элемента а при отображении s удобнее обозначить через sa•