ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

105

числа П,

ходим:

Й пати-й (П

что и доказывает (1) для числа п + 1.

то, применяя определение З и закон ассоциативности, на

апн.п+1

апи•к —

Можно определить произведение любого конечного числа эле-

ментов группы с любым распределением скобок

независимость от распределения скобок

Для коммутативной группы G произведение п

висит ог порядка сомножителей, т. е. если f(i)

однозначное отображение множества 1, 2, .

п

и доказать его

элементов не за-

любое взаимно

на себя, то

(2)

Наметим лишь ход доказательства. предоставляя читателю его

детальное проведение. 1) Пользуясь правом вводить и отбрасывать

скобки и законом коммутативности, доказываем, что произведе-

иие п элементов не меняется от перестановки двух соседних мно-

жителей. 2) Перестановку двух любых множителей сводим к ряду

перестановок соседних множителей. З) Любую перестановку множи-

телей сводим к ряду перестановок двух множителей.

Следствия из законов обратимости. Заметим, что

свойство II ещё не означает наличия в операций, обратных

умножению, так как II утверждает лишь существование, но

не единственность элементов с и Для доказательства един-

ственности этих элементов введём понятия единицы и обратного

элемента.

Определение 4. Единицей группы называется элемент е

Такой, что еа=::: для любого а из О. Обратным для эле-

лента а из G называется элемент такой, что аа¯1

где е — единица группы (й.

Те о рема 1. В любой группе существует единица е и при-

том толысо одна; для любого элемента а существует обратный

элемент а- 1 и припоя толысо один; существующие по закону

Обратилости lI решения уравнений и являются

единственными для любых а и Ь из О.