ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

115

Далее, для любого а существует обратный элемент а- 1 такой,

-1 При э гом единица е и обратный элемент а

что аа

для данного а определяются однозначно.

Если в кольце существует единица, -то только одна, ибо, если

е, и е, — единицы, то е, Если для элемента а кольца

с единицей существует обратный элемент, то только один, ибо,

если Ь и с—обратные элементы для а, то b==bac

Но в кольце с единицей может и не быть обратных элементов,

.как, например, в кольце целых чисел. Существуют также кольца

без единицы, как, например, кольцо чётных чисел или кольцо целых

чисел, кратных числу п > 1.

Если в кольце R существует единица е 0 и для любого а -4: 0

-1

существует обратный элемент а

то элементы кольца, отличные

от нуля, образуют группу по умножению (S 6), и значит, кольцо R

будет полем.

Так как мультип.чикатнвная группа поля коммутативна, то умно-

жение обладает обратной операцией — деленпем. При этом част-

однозначно 01јределено для любого а, не равного нулю.

ное

а

и любого Ь. Для Ь 0 это следует из свойств мультипликативной

группы поля (S б), а для Ь имеем: — так как а

а

Дополнительное требование а 0, входящее в свойство VlI, нару-

шает симметрию свойств сложения и умножения поля. Отбросить

это требование и тем самым восстановить указанную симметрию,

однако, невозможно. В самом деле, уравнение при а ==()

и Ь ф 0 не имеет решения в поле или даже в кольце, содержащем

элементы, отличные ог нуля. Действительно, если q — решение ука-

занного уравнения, то • что невозможно. Поэтому

деление на нуль невозможно, если делимое отлично от нуля. Част-

0

может равняться любому элементу кольца, так как для

ное

любого q имеем: 0 •

Тео рема 1. Поле не илеет Делителя нуля (S 7, определе-

ние 2), т. е. если то либо либо Ь

До казательство. Если и а * 0, то, умножая осе

части равенства на а- 1, найдём 1 • 0, т. е.

Итак, полс является кольцом без делителей нуля. Утверждение,

обратное этому, вообще неверно: существуют кольца без делителей

нуля (например, кольцо целых чисел), не являющиеся полями. Однако

для конечных колец обра гная теорема также верна. А именно:

Т е оре ма 2. Всякое конечное кольцо без де.штелей нуш, со-

держащее более одного элемента, является полем.

До к аз а те л ь ст во. Достаточно проверить свойство VIl. Пусть

а 7=0. Каждому элементу х кольца поставим в соо гветсгвие элемент

Если х] ху, то также уя ибо иначе — ах, и

.х1 (S 7, теорема 2). Значит, есть взаимно однозначное