94

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТ ВА, группы, кольцА И поля

выбора достаточно возможности (именно, каждый раз в нашем рас-

поряжении остаётся ещё семь цифр). Дробь 0, b2 Ьз

обладает

нужными свойствами и даже в усиленной форме — она вовсе не

имеет цифр 0 и 9. Значит, число с принадлежит интервалу (0, 1).

Но запись с отлична от записей всех чисел (4). В самом деле,

запись с отличается от с, , ибо от c2, ибо b2 74: и т. д.

Но дробью нашего типа числа интервала записываются однозначно.

Значит,

с Х: со с З: с2, с З: сз, , с

Оказалось, что число с не входит во множество чисел (4), тогда

как мы предположили, что в (4) перенумерованы все числа интервала.

Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Среди всех бесконечных множеств счётные множества являются

наименьшими в следующем смысле:

Т е о р ем а 6. Всякое бесконечное множество содержит счёт-

ное подмножество.

Док аз а т е ль ст в о. Пусть М— бесконечное множество. Тогда

М 0. Выберем какой-нибудь из его элементов и обозначим его

через 01. Пусть в М уже выбраны п различных между собою эле-

ментов 01, . , а п. Так как М бесконечно, то

и можно выбрать элемент

Он отличен от всех ранее выбранных элементов. по принципу

индукции доказано, что для любого п существует в М подмножество

ае, ... , ап } из п элементов, причем множество Апи по-

лучается из Ап присоединением одного нового элемента апн. Очевидно,

что объединение

а, , 02, .

является счётным •подмножеством М.

Теперь легко доказать, что свойство конечного множества не

иметь равномощного ему собственного подмножества (см. теорему 1)

для бесконечных множеств никогда не выполняется. Именно имеет

место

Т е ор е ма 7. Всякое бесконечное лноэ,сество М равножощно

некоторому собснгвенножу подмножеству.

Доказательство. По теореме

счётное подмножество-

6

множество М содержит