108

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И ПОЛЯ

и соответственно изменяется вид равенств (1) — (5). В частности,

равенства (З) — (5) принимают вид

(т —1— п) а та -1— па,

т (на) — (тп) а,

(6)

(7)

(8)

Операция, обратная операции сложения в аддитивно записанной

коммутативной группе, называется вычитанием, а её результат для

элементов а и Ь, т. е. решение уравнений и

называется разностью элементов Ь и а и обозначается через Ь— а.

Подгруппа. Оп р е де ле н ие 6. Подмножество Н группы G

называется подгруппой этой группы, если оно само является груп-

пой при той же групповой операции, что и в О.

При выяснении того, является ли данное подмножество Н под-

группой, можно пользоваться следующей теоремой:

Т е о р е м а 2. Непустое подмножество Н группы будет под-

группой тогда и только тогда, когда 1) произведение двух любых

элементов а п Ь из Н принадлежит Н, 2) элемент а¯1, обратный

для любого элемента а из Н, принадлежит к Н.

До к аза те льс т в о. Необходимость этих условий очевидна.

Если, обратно, для Н выполнены условия 1) и 2), то Н (как не-

пустое множество) содержит элемент а, значит, по свойству 2) оно

Таким образом, Н со-

содержит и и по свойству 1) а а

держит единицу е и вместе с любым элементом а содержит обратный

элемент а- 1. Так как закон ассоциативности автоматически перехо-

дит с G на Н, то Н— подгруппа группы 0.

Мы ограничимся лишь этими основными свойствами групп, отсы-

лая читателя, интересующегося более глубокими свойствами, к спе-

циальной литературе (см. [6] и

7. Кольцо

Мы рассмотрели в предыдущем параграфе свойства одной алге-

браической операции. Однако в случае чисел, которыми мы будем

заниматься в дальнейшем, налицо две операции — сложение и умно-

— связанные между собою дистрибутивным (распределитель-

жение,

ным) законом. В этом и следующем параграфах мы и рассмотрим

общие свойства множеств с двумя операциями. При этом мы огра-

ничимся лишь нужным для чисел случаем коммутативных операций.

Оп ре деление 1. Непустое множество R называется коль-

цоЯ, если в нем опреДелены две алгебраические операции: сложение,

ставящее в соответствие каждым двум элеяентая а, Ь элемент

а —1— Ь, называемый их суммой, и умножение, ставящее в соответ-

ствие каждым двуя элементам а, Ь элемент ab, называелый их