МНОЖЕСТВА

81

случае бесконечных множеств, причём невыписанные элементы за-

меняются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозна-

при-

чается {t, 2, З, .. .}, а множество чётных чисел р 4 6, .

чом под многоточием в первом случае подразумеваются все нату-

ральные числа, а во втором — только чётные.

Два множества А и В называются равными, если они состоят

из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множе-

ства А принадлежит В и, обратно, каждый элемент В принадле-

жит А. Тогда пишут А ==В. Таким образом, множество однозначно

определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих

элементов. Например, множество из трёх элементов а, Ь, с допу-

скает шесть видов записи:

Из соображений формального удобства вводят ещё так называ-

емое «пустое множество», а именно, «множество», не содержащее

ни одного элемента. Мы будем обозначать его символом 0 (совпа-

дение с обозначением числа нуль не ведёт к путанице, так как

смысл символа каждый раз ясен).

Если каждый элемент множества А входит во множество В, то

А называется подмножеством В, а В называется надмножеством

Д. Пишут А с В, В О А (словами: А входит в В или А содер-

жится в В, В содержит А). Очевидно, что если А с в и вс А,

то А Пустое множество по определению считается подмно-

жеством любого множества.

Если каждый элемент множества А входит в В, но множество В

содержит хотя бы один элемент, не входящий в А, т. е. если

А СВ и А Х: В, то А называется собственным подмножеством В,

а В — собственным надмножеством А. В этом случае пишут А с В,

во А. Например, запись А и означает одно и то же,

именно, что множество А не пусто.

Заметим ещё, что надо различать элемент а и множество {а}

содержащее а в качестве единственного элемента. Такое различие

диктуется не только тем, что элемент и множество играют неоди-

наковую роль (отношение а (А не симметрично), но и необходи-

мостью избежать противоречия. Так, пусть А {а, b} содержит

два элемента. Рассмотрим множество RA}, содержащее своим един-

ственным элементом множество А. Тогда А содержит два элемента,

в то время как {А} — лишь один элемент, и потому отождествле-

ние этих двух множеств невозможно. Поэтому мы не будем при-

менять запись а с А, сохраняя обозначение а (А.

Пр им еры множе ст в. Примеров множеств можно привести

сколько угодно. Так, можно говорить о множестве всех букв дан-

ной книги, причём одна и та же буква на разных страницах или

ра.зных строках одной страницы считается за два различных элемента

множества, о множестве всех людей земного шара, причём надо

сделать предположение, что в рассматриваемый момент времени

В Энциклопедия, кн. 1.