МНОЖЕСТВЛ

85

которого любой элемент х множества Х определяет некоторый

(соответствующий ежу) оббект f(x).

Множество Х называется областью определения функции, а

множество У— объектов, соответствующих всем элементам множе-

ства Х, — областыо значений функции.

При мер 1. Пусть у— sinx. За область определения функции

можно принять множество действительных чисел. Тогда областью

значений функции будет отрезок [— 1, -4-1].

Пример 2. Пусть За область определения функции

можно принять множество действительных чисел, отличных от чисел

вида , где п пробегает все целые значения (ибо для этих

значений х функция не определена). Тогда областью значений

функции будет множество всех действительных чисел.

При мер З. Функция Дирихле:

0 при х рациональном,

f(x)—

1 » х иррациональном.

Область определения здесь — множество действительных чисел,

область значений — множество В), l} из двух элементов.

Замечательно, что гениальный русский математик Н. И. Лоба-

чевский более ста лет назад дал определение функции, весьма

близкое к приведённому. В противовес господствовавшему тогда

взгляду на функцию как на аналитическое выражение (т. е. как на

формулу) он подчёркивал значение идеи соответствия в определе-

нии понятия функции.

«Это общее понятие, — писал Лобачевский о понятии функции, —

требует, чтобы функцией от х называть число, которое даётся для

каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции

может быть дано или аналитическим выражением или условием, кото-

рое подаёт средство испытать все числа и выбирать одно из них,

или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неиз-

вестной» 1)•

Весьма близким к понятию функции является понятие отобра-

жения.

Определение 2. Пусть Даны два множества Х и У. Такое

соответствие, при котороя каждому элементу х (-Х соответ-

ствует (единственный) элемент уе У, называется отображением

множества Х в яножество У; в частности, если каждый элемент

у€ У соопшетствует по крайней мере однолу элементу хе Х, то

такое соответствие называется отображением Х на У.

1) Н. И. Л о бач е вс кий, Об исчезапии тригонометрических стрк,

Учёные записки Казанского университета, кн. П, 1834.