84

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, кольцА И ПОЛЯ

При мер 4. Пусть Х— множество всех положительных чисел

х и Ах— множество точек круга радиуса х с центром в точке О.

Тогда снова объединение

Ах будет множеством всех точек пло-

скости, а пересечение Ах содержит лишь одну точку О.

S З. Функция, отображение, мощность

Понятие функции играет в математике такую же существенную

роль, как понятие множества. Что же такое функция? Часто гово-

рят, что функция есть переменная величина, зависящая от другой

переменной величины (аргумента). В применении к обычным функ-

пиям, изучаемым в школе, как у sinx, это определение вполне

подходит и может применяться в преподавании. Наша задача, одна-

ко, состоит в более точном уяснении сущности этого понятия и

получении современного его определения. Прежде всего, если взять

функцию

У == sin2x-l- cos2 х,

то её значение уже не зависит от значения х. Далее, под величи-

нами принято понимать такие объекты. которые можно сравнивать

между собой, т. е. такие, между которыми существуют отношения

больше и меньше. Между тем в математике рассматриваются

также и функции, для которых эти отношения не установлены, как,

например, в случае комплексных чисел или вообще элементов не-

которого множества. Внимательное рассмотрение показывает, что в

понятии функции существенно не столько её изменение с измене-

нием аргумента, сколько сам закон соответствия, в силу которого

по каждому значению аргумента однозначно определяется соответ-

ствующее ему значение функции. Так функцию

У == siIT2 х —Т- cos2 х

можно определить, просто сказав, что каждому действительному

числу х она ставит в соответствие число 1. Соответствие есть

закон, позволяющий для каждого элемента х некоторого множе-

ства Х однозначно указать некоторый объект (соответствующий

данному элементу). Эти слова лишь поясняют понятие соответствия,

но не должны пониматься как его определение. Понятие соответ-

ствия, как и понятие множества, принимается за основное, не под-

лежащее определению. Тогда наиболее общее определение функции

будет такое:

Опр е де л е ние 1. Функцией, заданной (или определённой)

на некотором множестве Х, называется соответствие, в силу