НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

146

Т е о ре ма 10. ЕСЛИ некоторая • теорема Т Доказана для

какого-либо натурального числа К и если в предположении, что

она верна для числа п » К, она Доказана для числа п А- 1, то эта

теорема Т верна для любого натурального числа п * К.

Док а за т ель ст во. Предположим, что теорема Т верна не

для всех чисел п>К. Тогда множество А тех чисел п для

которых теорема Т неверна, непусто и по теореме 8 содержит

наименьшее число и для I теорема Т неверна. Поэтому l>k.

По теореме 5 и потому имеет предшествующее число п

(S ll, теорема 2), т. е. число п, для которого 1 Ы,

причём п ибо если п<К, то по тёореме 7 СК.

Из следует n

ству А, т. е. для п теорема Т верна. Но тогда она верна и

для числа п -4-1 Полученное про гипоречие доказывает нашу

теорему.

Аналогичное видоизменение допускает и вторая форма индуктив-

ного доказательства (т. е. теорема 9), а именно:

Т е о рема 11. Если некоторая теореяа Т, касающаяся нату-

рального числа, Доказана для числа К и в предположении, что

она верна для всех чисел а с условием а Доказана для

числа п, то эта теорема Т верна для любого числа п ЭК.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 10 и предо-

ставляется читателю.

Справедливо ещё следующее положение, дополняющее тео-

рему 8:

Те о рема 12. Любое непустое и ограниченное сверху множе-

ство А натуральных чисел соДержит наибольшее число (при этом

под множеством, ограниченным сверху, понимается множество, все

числа которого меньше одного и того же натурального числа К).

Док аза т ель ст во. Пусть В есть множество натуральных

чисел, не меньших чем числа множества А. Так как А ограни-

чено сверху, то В непусто. По теореме 8 В содержит наи-

меньшее число Ь- по определению В имеем для любого а

из А. Покажем, что число Ь принадлежит А и, следовательно,

является наибольшим числом в -4. Если Ь не принадлежит А, то

для любого а из А. По теореме 7 тогда Ь— »а для лю-

бого а из А. Таким образом, число Ь— принадлежит В и Ь—

что противоречит выбору числа Ь.

S 15. Индуктивные определения. Сумма и произведение

нескольких чисел

С индуктивными определениями мы уже имели дело при опре-

делении сложения и умножения. В обоих случаях при выборе

определённого значения а дело шло о построении некоторой

функции f (Ь) числа Ь (значения которой — на гуральные числа),

10 Энциклопедия, кн. 1.