НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

147

ству А и которая обладает свойствами: 1) / (1) 2п) при

п н 1 значение f(a) связано со значениями / (Ь)

(где Ь рекуррентными соотношениями Данной системы S.

Доказа тель ство леммы. Пусть М— множество тех п,

для которых лемма верна.

А) Для условие в) и свойство 2п) отпадают. Очевидно,

f(l) будет тогда единственной функцией, заданной на отрезке

1, и обладающей свойством 1); 1 принадлежит М.

Б) Если п принаДћежит М, то для п лемма верна. Пусть услђ-

вия а), б), в) леммы выполнены для числа п + 1. Тогда эти усло-

вия выполняются также и для числа п [при той же системе S ре-

куррентных соотношений в пункте в) и том же х1 в 6)l. Стало

быть, существует одна и только одна функция (а), заданная на

отрезке 1, и обладающая свойствами 1) и 2п). Мы строим тогда

функцию Л +1 (а) следующим образом: для любого а 4 п полагаем:

Л +1 (а). Значение же Л +1 (п-[- 1) определяем по значениям

Л +1 (а) для а из рекуррентных соотношений данной си-

стемы S, что возможно, так как условие в) выполнено для числа

п 4- 1. Тогда функция (а) задана на отрезке 1, ПА— и обла-

дает свойствами 1) и 2п41). Если д (а) — любая функция, заданная

на отрезке 1, 1 и обладающая свойствами 1) и 2п+1), то эта

функция д(а) задана также на отрезке 1, п 1 и обладает свойствами

1) и 2п). В силу единственности такой функции (для п лемма верна)

должно быть: д(а) (а) для а 4 п- Но д (а) обладает свойством

2п+1). Следовательно, значение д (п Н— 1) однозначно определяется

значениями д (а) для а 4 п-4-1. Но для 1, т. е. а 4 п,

Поэтому также -1—1) (п -4-1). Итак, на всём отрезке

1, п -4- функция д(а) совпадает с (а), чем доказана един-

ственносгь функции (а). Лемма доказана для числа п-[- 1; п -Г- 1

принадлежит множеству М. По аксиоме IV М содержит все нату-

ральные числа, т. е. лемма верна для любого натурального числа п.

Доказательство теоремы 1. Условия 1) в определении 1

и лемме совпадают. Из условия 2) определения 1 следует, что

условие в) леммы выполнено при любом п 1. Согласно лемме

для любого п существует одна и только одна функция Л (а), за-

данная на отрезке 1, п) и обладающая свойствами 1) и 2 п). Если

т<п, то функция Л (а) задана на отрезке 1, т 1 как части от-

резка 1, п 1 и обладает свойствами 1) и 2п), а стало быть и свой-

ством 2 т). По единственности такой функции Л (а) (а) для

а 4 т. Итак, все функции Л (а), определённые для числа а (т. е.

при п>а), имеют для этого а одно и то же . значение. Значение

всех Л (а) при п и примем за значение f(a) искомой функции

для числа а; f(l) совпадает с а так как Л (а) обладает свой-

ством 1), то f(a) обладаек свойством 1). Если и п то