134

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, кольцА И ПОЛЯ

элементы вся к ого множества N, обладающего неречисленными

свойствами.

Действительно, возможны различные множества, удовлетворяю-

щие определению 1, но все они изоморфны относительно основного

отношения «Ь следует за а» (см. определение из S 9) и поэтому

обладают совершенно одинаковыми свойствами, касающимися этого

отношения, если только эти свойства вытекают из аксиом 1— lV.

Отложив до конца главы (5 17) доказательство упомянутбго

изоморфизма и другие вопросы, касающиеся самой системы аксиом,

займёмся теми следствиями, которые из нее проистекают.

Поясним, прежде всего, смысл аксиомы индукции. Обычное до-

казательство по индукции состоит в следующем. Пусть надо дока-

зать некоторую теорему, в формулировке которой участвует нату-

ральное число п (как, например, в формуле бинома Ньютона).

Тогда доказывают эту теорему, во-первых, для п 1 и, во-вторых,

для числа п -1—1, предполагая, что она верна для числа п. После

этого теорема считается доказанной для любого числа п. То, что

теорема действительно доказана для любого п, обычно обосновы-

вается так: теорема верна для 1, а значит, и для 2, раз она верна

для 2, значит, верна и для 3; раз для З, значит, и для 4 и т. д.

Но что значит это «и т. д.»? Можем ли мы, рассуждая так, пере-

брать все натуральные числа? Разумеется, нет, так как этих чисел

бесконечно много. Аксиома индукции IV и служит как раз формаль-

ным средством доказательства такого рода теорем сразу для всеи

бесконечной совокупности натуральных чисел. А именно, верна

такая теорема:

Теорема 1. (Теорема о законности индуктивных

доказа т ель ст в.) Если некоторая теорема Т, формулировка

которой содержит натуральное число п, доказана для числа

•и в предположении, что она верна для числа п, Доказана

для следующего числа п' 1), то эта теорема верна для любого

числа п.

Доказатель ст во. Пусть М есть множество тех натураль-

ных чисел, для которых верна рассматриваемая теорема Т. Тогда

А) число входит в М, так как для 1 теорема Т доказана;

Б) пусть число п принадлежит М; это значит, для числа п тео-

рема Т верна. Но в таком случае теорема Т доказана, т. е. также

верна и для следующего числа 11', а это значит, что число 11' также

принадлежит М. Итак, множество М обладает свойствами А) и Б)

аксиомы IV. В силу этой аксиомы оно должно содержать все на-

туральные числа, что означает (по самому определению множества М),

что теорема Т верна для любого натурального числа п. Этим тео-

рема 1 доказана.

1) Для того чтобы считать п' п + 1, надо ещё определить сложение

натуральных чисел.