136

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

выбрано определённое число а. Тогда условия 1) и 2) определяют

число а-[-1 и число а + b', если уже определено число а + Ь.

Поэтому на основании аксиомы индукции IV можно, казалось бы,

считать число а-А—Ь определённым для любого Ь, а так как а выби-

ралось произвольно, то и для любых а и Ь. Так полагали автор

аксиоматики натуральных чисел Пеано и его ученики. Такое изло-

жение принято в большинстве математических книг. Однако

в этом рассуждении имеется ошибка. В самом деле, каждый раз,

применяя аксиому индукции, мы должны вполне точным образом

определить то множество М, для которого надо доказать свойства-

А) и Б). В доказанной выше теореме (5 11) множество М состоит

из тех натуральных чисел, для которых верна некоторая теорема Т

о натуральном числе п. Нам удалось . доказать, что это множество

обладает свойствами А) и Б), что и доказывало теорему Т. Этим

снимается то возражение, что при доказательстве теоремы Т для

п + 1 мы предполагаем ее! уже доказанной для п, хотя она ещё

только доказывается. Мы пока и не пользуемся тем, что теорема Т

верна для п, а доказываем лишь предложение в условной форме:

«Если теорема Т верна для п, то она верна и для пф 1», что

соответствует условной форме свойства Б).

Попробуем теперь выяснить, к какому множеству М надо при-

менить аксиому IV в случае определения сложения? Можно

ли сказать, что при .выбранном а множество М состоит из тех Ь,

для которых число определено? Нельзя, потому что мы ещё

только хотим доказать, что число а —ЕЬ определено свойствами 1)

и 2). В этом и состоит как раз отличие индуктивного определения

от индуктивного доказательства, где множество М чисел, для кото-

рых теорема Т верна, имеет вполне определённый смысл независимо

от того, доказана эта теорема Т или нет. Слова «при данном а

число а -ЕЬ со свойствами 1) и 2) определено» имеют лишь такой

точный смысл: «при данном а существует соответствие, сопостав-

ляющее с числом Ь число а-[-Ь и обладающее свойствами 1) и 2)»,

но это утверждение касается не одного, а сразу всех чисел Ь и

потому его нельзя доказать индукцией по Ь простой ссылкой на

свойства 1) и 2). Зато это утверждение касается одного определён-.

ного числа а, и можно пытаться доказать его индукцией по а (что

и будет сделано ниже). Заметим, что мы утверждаем ошибочность

доказательства индукцией по Ь того, что условия 1) и 2) опреде-

ляют число а Ь, но отнюдь не ошибочность самого этого утверж-

дения. Индуктивные определения законны, что можно доказать, опи-

раясь только на понятие о порядке натуральных чисел (см. S 15).

Понятие же порядка будет нами введено (см. S 14) на основе сло-

жения. Таким образом, вопрос о существовании сложения прихо-

дится решать иным путём.

Т е о р е м а 1. Сложение натуральных чисел существует и

притол только одно, т. е. •сущеспшует одно и только одно соот-