ГЛАВА

МАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

S 11. Аксиомы натуральных чисел

Аксиоматическое построение данной теории начинается (см. S 9)

с перечисления основных отношений (принимаемых без определения)

и основных свойств или аксиом (принимаемых без доказательства),

которым удовлетворяют данные отношения. При аксиоматическом

построении натуральных чисел вводится одно основное отношение

и четыре аксиомы, а именно:

Оп редел е ние 1. Натуральными числами называются эле-

ленты всшсого непустого янотсества N, в котором для некото-

рых элементов а, Ь существует отношение «Ь следует за а»

(число, следующее за а, будем обозначать через 0'), удовлетворяю-

щее следующим аксиомам:

1. Существует число 1, не следующее ни за каким числом,

т. е. а' для любого числа а 1).

II. Для любого числа а существует следующее число а' и при-

тож только одно, т. е. из следует а'

III. Любое число следует не более чем за одним цислоя, т. е.

из а' следует

IV. (А кси ома индукци и.) Любое Янотсество М натураль-

ных цисел, обладающее свойствами:

А) принадлежит М,

Б) если число а принадлежит М, то следующее число а' также

принадлежит М,

содержит все натуральные числа, ш. е. совпадает с Л!.

Приведённая здесь аксиоматика натуральных чисел представляет

собой лишь несуцественное и.зменение системы аксиом, предложен-

ной в 1891 г. итальянским математиком и логиком Пеано.

Может показаться, что наше определение натуральных чисел

плохо тем, что согласно ему натуральными числами называются

1) Как всегда, знак обозначает совпадение, а знак 4: — различие эле-

ментов множества.