140

ПОНЯТИЯ ГРУППЫ. КОЛЬПЛ И ПОЛЯ

(см. S З, определение 4). Правда, для конечных множеств (с кото-

рыми мы и имеем дело при определении умножения) мы дали другое

определение «числа элементов» (см. S 4, определение З) и доказали,

что оно совместимо с понятием числа элементов как мощности

множества, но мы существенно использовали при этом понятие

отрезка l,nl натурального ряда как множества натуральных чисел,

не превосходящих п. Это понятие предполагает уже установлен-

ным порядок во множестве натуральных чисел; правда, мы могли

бы определить порядок до умножения и установить с помощью

определения З из S 4 соответствие, позволяющее отождествить

натуральные числа с мощностями конечных множеств. Это дало бы

натуральным числам количественный характер. Однако арифметика

натуральных чисел в этом не нуждается. Всю её можно построить,

не используя понятия о мощности; а лишь на основе определения 1.

Построенные таким путём натуральные числа называют порядко-

выжи числами в отличие от мощностей, называемых количествен-

ныли числами.

Для того чтобы теория натуральных чисел не осталась пустой

логической игрой, а стала тем основным орудием практической дея-

тельности человека, которым она на самом деле является, необхо-

димо установить соответствие между мощностями конечных множеств

и независимо от них построенными порядковыми натуральными

числами, придав им тем самым количественный смысл. В этом и

состоит значение определения З и теоремы 2, на которой оно осно-

вано, приведённых в S 4.

Относительно определения умножения сохраняют силу все заме-

чания, которые были сделаны в предыдущем параграфе по поводу

определения сложения. В частности, из него ещё неясно, что соот-

ветствие с этими свойствами существует. Поэтому большое прин-

ципиальное значение имеет следующая теорема, аналогичная теоре-

ме 1 из S . 12.

Т е ор е ма 1. Умножение натуральных чисел существует и

притом только одно. Иными словами, умножение всегда выпол-

нило и однозначно.

Доказа тель ст во. а) Сначала докажем, что при данном а

существует не более чем одно соответствие, сопоставляющее с каж-

дым числом Ь число хь и обладающее свойствами х1 а, хь, —l—a

для любого Ь. Пусть уь — любое соответствие с теми же свой-

ствами и М— множество тех Ь, для которых

А) х, принадлежит М. Б) Если Ь принадлежит М,

то ху а b' принадлежит М. по аксиоме lV

хь для любого Ь. Единственность умножения доказана при

данном а, а по произвольности а она доказана для любых а и Ь.

б) Покажем теперь, что при данном а сущес гвует [и согласно

а) только одно] соответствие, сопоставляющее с каждым Ь число ab

и обладающее свойствами а • 1 ab' для любого Ь (при