138

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

До казательство. Пусть выбраны числа а и Ь и пусть М

множество тех чисел с, для которых равенство справедливо.

А)

1 принадлежит М. Б) Если с принадлежит М, то (а -1— Ь) +

с), откуда

т. е. d принадлежит М. По аксиоме IV равенство (а Ь) -4-

(b-l—c) справедливо для любых а, Ь и с.

Теорема 3. (Закон коммутативности сложения.)

До к аз а т ел ь с тв о. а) Докажем, что а —1— индукцией

по а. Пусть М— множество тех а, для которых это верно. А) 1,

очевидно, принадлежит М. Б) Если а принадлежит М, то a-l- 1

+ а. Тогда

т. е. а' принадлежит М. По аксиоме IV доказано, что а -1—1 а.

б) Докажем индукцией по Ь, что + а. Пусть М

множество тех Ь, для которых это верно при данном а. А) По

доказанному в а) 1 принадлежит М. Б) Если Ь принадлежит М, то

+ а. Тогда, используя теорему 2, находим:

т. е. b' принадлежит М. По аксиоме IV теорема доказана.

Теорема 4.

Доказательство. Теорема верна для ибо а -1—1—

1 по аксиоме 1. Если а -4-Ь * Ь, то по теореме 4 из S 11

также

Т е о рема 5. Для любых чисел а и Ь имеет лесто один и

только один из случаев: 1) 2) существует число К такое,

что а -4-/е•, З) существует число I такое, что

Доказа тель с т во. Из теоремы 4 следует, что имеет место

не более чем один из этих случаев, так как, очевидно, 1) и 2). а

также 1) и З) не могут жметь места одновременно. Если бы имели

место 2) и З), то