НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

135

Определение 2. Если Ь следует за а, то говорят, что а

предшествует Ь.

Согласно аксиоме I число 1 не имеет предшествующего. Но

это— единственное число с таким свойством.

Т е о рем а 2. Любое число а 1 имеет предшествующее число

и притом только одно.

Доказа тель ст во. Пусть М— множество, содержащее 1 и

все числа, имеющие хотя бы Одно предшествующее число.

А) принадлежит М, Б) если а принадлежит М, то и а' также

принадлежит М, ибо а' имеет предшествующее число а (предполо-

жение, что а принадлежит М, здесь даже излишне). По аксиоме lV

М содержит все числа. Значит, любое число а 1 имеет по край-

неи мере одно предшествующее. Единственность предшествующего

числа следует из аксиомы III, согласно которои любое число имеет

не более одного предшествующего.

Т е о р е м а З. Если числа, следующие за Данными числа-

ян, различны, то и Данные числа различны, т. е. из а' b' сле-

дует а Ь.

Доказательство. По аксиоме Il из следует

Т е о рема 4. Если данные числа различны, то н следующие

за нуми различны, т. е. из а Ь следует а' b'.

Доказательство. По аксиоме llI из следует

Т е ор е ма 5. Любое число отлично от следующего за нил

числа, т. е. а а' для любого а.

До каза тел ь с тв о. Пусть М— множество чисел, для которых

теорема верна.

А) по аксиоме 1. Следовательно, 1 принадлежит М.

Б) Если а принадлежит М, то а' а. Значит, по теореме 4

также (а')' а', т. е. а' принадлежит М. По аксиоме IV М содер-

жит все числа, т. е. а а' для любого а.

S 12. Сложение

О п ред еле ни е. Сложением натуральных чисел называется

такое соответствие, которое с каждой парой натуральных чисел

а и Ь сопоставляет одно и только одно натуральное число а А- Ь,

обладающее следующими свойствами:

1) а -1- 1 для любого а,

2) a-l-b' -1-b)' для любых а и Ь.

Числа а и Ь называются слагаеяыяи, а число а -4— Ь — суммой 1).

Сразу возникает вопрос, существует ли такое соответствие, и

если да, то будет ли оно единственным. Приведённое определение

является примером так называемого индуктивного определения. Пусть

1) Сложение является, таким образом, частным случаем более общего

понятия алгебраической операции (см. S 6, определение 1) или ещё более

общего понятия функции (см. S З, определение 1).