ПОЛЕ РЛПИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

173

искать минимальное из таких расширений в смысле следующего

определения:

О п р е д е ле ние 1. Полем рациональных чисел называется жи-

нимальное поле Г, содержащее кольцо С целых чисел, т. е. яно-

жество, обладающее сво:7стваяи:

1) Г содержит С; 2) Г является полем; З) сложение и умно-

тсение целых ЧИСел совпадают с одноимёнными операциями над

этими числами в поле Г; 4) поле Г не содержит отличного от

него самого подполя, содержащего С.

Элементы поля Г называются рациональными числами.

Из этого определения ещё неясно, существует ли такое поле и

будет ли оно единственным. Покажем сначала, что поле рациональ-

ных чисел определено однозначно -с точностью до изоморфизма.

Т е оре ма 1. (Ср. S 20, теорема 1.) Поле Г, содержащее кольцо С

целых цнсел 1), тогда и только тогда будет полея рациональных

цнсел (т. е. минимальным), когда каждый его элемент равен част-

ножу целых чисел.

Доказательство. а) Если поле Г содержит С и каждый

элемент Г равен частному целых чисел, то Г минимально, так как

любое подполе, содержащее Г, содержит и все частные целых чисел

(5 8, теорема 5) и совпадает с Г.

б) Пусть, обратно, поле Г минимально. Во всяком поле частное

элементов обладает следующими свойствами (5 8, теорема З):

если Ь $0, d $0, то

а)

7

Ь

тогда и только тогда, когда ad bc;

6)

в)

г)

С

если Ь d $0, то

ad bc

bd

(1)

ас

если Ь $0, d $0, то

а с ad

если 4: с О, О, то

bc

Пусть М— множество всех элементов поля Г, каждый из кото-

рых равен частному целых чисел. Из (1) следует, что сумма, раз-

ность, произведение и частное (если делитель отличен от нуля)

любых двух элементов множества М снова принадлежат к М,

т. е. М— подполе поля Г (5 8, теорема 5). Любое целое число

ab

где

равно, конечно, частному целых чисел, например а

Ь — целое число, отличное от нуля. Из совпадения операций в С и Г

1) Здесь и ниже подразумевается, что операции над элементами под-

множества совпадают с одноимёнными операциями над теми же элементами

в надмножестве.