КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ чИСвЛ

163

равными если с), что не согласуется

с нашим условием понимагь под равенством элементов любого

множества их совпадение, а, во-вторых, мы желаем сохранить обо-

значение а— Ь за операцией вычитания в искомом кольце.

За исходный элемент конструкции примем пару а, Ь натураль-

ных чисел, взятых в данном порядке. Пусть М— множество всех

таких пар. Определим отношение эквивалентности пар так, чтобы

разности чисел эквивалентных и только эквивалентных пар были

равны одному и тому же элементу искомого кольца. Согласно (1)

определяем эквивалентность так:

тогда и только тогда, когда

(2)

Далее, определяем сложение и умножение пар так, чтобы в

искомом кольце этим операциям соответствовали сложение и умно-

жение разностей чисел, образующих данные пары. Согласно б), г)

мы поэтому определяем:

(а, Ь) (с, (ас —1- bd, ad —1— bc).

(3)

(4)

Т е о р е ма 4. Сложение и ужноэюенне пар коммутативны,

ассоциативны и связаны законом дистрибутивности.

До каза тель ст во. Эти свойства вытекают из соответствую-

щих свойств натуральных чисел и доказываются непосредственной

проверкой. Докажем, например, ассоциативность умножения:

[(а, Ь) (с, (е, —[-bd, ad-l- bc) (е, Л—

_ (асе +

(а, Ь) (с, d)(e, Л]

(асе -4— adf —Г- bcf—l— bde, acf —1— ade+bce -1— bdf).

Получившиеся в итоге пары равны, т. е.

Отношения эквивалентности пар (2) обладают свойствами

из теоремы S 19. Действительно,

г. (а, Ь), ибо

2) Если (а, Ь)ои (с, d), то (с, d)eu (а, Ь), ибо если

З) Если (а, ь) г-м (с, d) и (с, (е, Л, то (а, Ь)ои (е, Л, ибо,

складывая равенства + с, 4—е, получим: a—i—

с с е, откуда а е З).

Итак, отнощение эквивалентности определяет разбиение мно-

жества М всех пар на классы эквивалентных пар. Будем обозна-

чать эти классы малыми греческими буквами а,

11 *