168

ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

З) Сложение и умножение натуральных чисел совпадают с од-

ноимёнными операциями для этих чисел в кольце С.

Покажем, что любой элемент кольца С равен разности натураль-

ных чисел. Любой элемент С имеет вид / где а— класс кольца

Со и у— построенное выше отображение Со на С. Пусть

а содержит пару (К, причём По определению

отображения f класс [З

состоит из пар вида (b—l-h, Ь) и т— из

(c—l-l, принадлежащую р, откуда а

Итак, по определению сложения в кольце С, т. е. по (5') 1):

Любое подкольцо С, содержащее натуральные числа, должно

содержать все их разности и совпадает с С. Следовательно,

4) Кольцо С не содержит никакого подкольца, содержащего N

и отличного от самого С.

Итак, одно из изоморфных между собой колец целых чисел нами

построено. Его элементами (т. е. целыми числами) являются: во-первых,

все натуральные числа, во-вторых, число 0, т. е. класс всех пар нату-

ральных чисел с равными элементами, в-третьих, все классы второго

рода, т. е. классы эквивалентных пар (а, Ь) натуральных чисел

с условием a

целых чисел.

Пока читателю трудно узнать в построенном выше кольце С

так хорошо известное ему кольцо целых чисел. В следующем пара-

графе мы рассмотрим простейшие свойства этого кольца и увидим,

что оно ничем не отличается от всем известной совокупности це-

лых чисел.

S 21. Свойства целых чисел

Зам е чан ие 1. Для целых чисел как для элементов кольца

верны все правила оперирования, доказанные в S 7. Так, произ-

ведение нуля на любое число равно нулю [ S 7, (2)], верны обыч-

ные правила знаков при умножении [5 7, (3)] и т. д.

Теорема 1. Натуральными tlUCJta.3tli 1, 2, З, .

, ЦИСЛОМ 0

а числами —1, —2,

ПРОТИВОПОЛОТСНЫЛШ натуральным,

исчерпывается всё кольцо цепях цисея С, т. е. для любого эле-

лента а ес имеет жесто один и только один из трёх случаев:

— натуральное число,

— а — натуральное число.

До к аз а тел ь ст в о. Пусть a==f(a), где а— класс кольца Со 3).

Выше было доказано, что а либо первого рода, либо 0, либо

1) Заметим, что нельзя применять (5), так как класс а не обязательно

первого рола.

2) Для класса второго рола и 0, содержащихся в С, доказанное означа-

ет, что класс, содержащий пару (К, l), равен разности k—l.

3) Мы применяем, таким образом, для чисел, отличных от натуральных,

обозначения как греческими, так и латинскими буквами, считая