КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

167

Покажем, что N1 и N изоморфны относительно определённых

в них сложения и умножения, т. е. покажем справедливость

равенств

(5)

В самом деле, если а содержит пару (а ФК, а) и р

— пару

(b-{-l, Ь), то а А- р содержит пару (a-{-b-l-h+l, а-{-Ь), и, следо-

вательно,

Далее, ар содержит

где -[-al+bk. Следовательно,

Построим теперь искомое кольцо целых чисел С. Рассуждения

будут аналогичными с доказательством соответствующей теоремы

о кольцах (5 9, теорема 2). Пусть С— множество, полученное из

кольца Со путём замены всех классов первого рода натуральными

числами, соотве гствующими этим классам при отображении f. Если

дополним определение отображения у, полагая для любого

класса а второго рода и для а то получим взаимно однозначное

отображение Со на С. Определим сложение и умножение во множе-

стве С следующими равенствами:

(5')

— любые классы кольца Со. Так как / — взаимно одно-

Здесь а и р

значное отображение Со на С, то f(a) и f(P) — любые элементы С.

Далее, сумма cx—l-p и произведение ар определены в Со однозначно,

и равенства (5') действительно определяют операции сложения и

умножения для любых элементов множества С.

Итак, С— множество с двумя операциями. Одновременно равен-

ства (5') показывают, что множество С с так определёнными операци-

ями изоморфно кольцу Со и само является кольцом (5 9, теорема 1).

Т е о р е ма 7. Ко.љцо С, построенное выше, есть кольцо целых

чисел.

До к а зат ель ст во. Надо доказать, что С обладает свойствами

1)— 4), указанными в определении 1 в начале этого параграфа. Мы

уже знаем, что 1) С содержит множество N натуральных чисел и

2) С есть кольцо.

р — клас-

— натуральные числа, то а и

Если и

сы первого рода. Тогда равенства (5'), определяющие в кольце С

сумму и произведение 1el, совпадают соответственно с равен-

ствами (5), где сложение и умножение в левых частях являются

операциями, определенными для натуральных чисел в SS 12, 13. Итак: