170

понятия МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦЛ И ПОЛЯ

жительно, т. е. противоположное число — н по аксиоме IX непо-

ложительно. По теореме числа О и + п, где п—любое натураль.'

ное число, исчерпывают С. Таким образом в С положительны нату-

ра.льные числа и только они. Итак, любое расположение С совпа-

даст с расположением, указанным в начале доказательства.

Зам е чание 2. Целые числа обладают всеми свойствами эле-

ментов любого расположенного кольца, приведёнными в S 10. Так,

считая a>b, если а— Ь — положительно, мы вводим порядок, при

котором 0 меньше всех положительных и больше всех отрицатель-

ных чисел (5 10, теорема 1). Для этого порядка верны законы

монотонности и правила оперирования с неравенствами (S Ш, тео-

ремы 2—4). Определяя абсолютную величину ] а числа а как неотри-

цательное из чисел * а (см. S 10, определение 2), получим обычные

её свойства и обычные правила сравнения и правила действий над

числами через сравнение и действия над их абсолютными величинами

(S 10, теорема 8 и следующее за ней замечание).

Т е ор е ма 4. Порядок натуральных чисел (5 14) совпадает

с их порядком в Кольце целых чисел.

Доказательство. Если а и Ь— целые числа и a>b, то

где К— число положительное, т. е. натуральное, тогда

Для натуральных а и Ь это означает, что в смысле

определения из S 14.

Так как среди целых чисел нет наименьшего, то теорема 8 из

S 14 для них уже неверна. Для справедливости утверждений такого

рода необходимы дополнительные условия.

О п р е д е л е н и е. Множество А целых чисел называется огра-

ниченным сверху (соответственно снизу или просто ограниченным),

если существует целое число К такое, что (соответственно

К или существуют два числа К и такие, что

для любого числа х нз А. Пустое .иноэюество ограничено.

Т е о р с ма 5. Ј[юбое непустое и ограниченное сверху (соответ-

ственно снизу или ограниченное) множество целых чисел А со-

держит наибольшее (соответственно наименьшее или как наиболь-

шее, так н наименьшее) число.

Доказательство- Пусть А ограничено сверху. Если А со-

держит хотя бы одно натуральное число, то множество натуральных

чисел, входящих в А, непусто и содержит наибольшее число а

(S 14, теорема 2). Число а, очевидно, будет наибольшим и в А.

Если А не содержит натуральных чисел, но оно содержит число О,

то 0 и будет наибоџьшим в А. Если А содержит лишь отрицатель-

ные числа, то множество В, содержащее числа, противоположные

числам из А, состоит из натуральных чисел и содержит наимень-

н:ий элемент Ь: для любого у из В. Умножая на

— 1, найдём

(5 10, теорема 2): или, полагая и х==—У,

для любого х из А. Если А ограничено снизу, то определен-

нос выше В ограничено сверху, и по доказанному В содержит паи-