164

ПОНЯТИЯ мно)КЕствл, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Опре дел е ни е 2. Пусть Со есть ян.оэюество всех классов

эквивалентных пар яножества М. Суяяой (произведением) двух

р назовёя тот класс а (соответственно ф),

классов а и

который содержит сумму (произведение) пары класса а и пары

класса р.

Как всегда при определении операций над классами через опе-

рации над представителями этих классов, надо показать, что резуль-

тат операции не зависит от выбора представителей. Это следует,

очевидно, из такой теоремы:

Теорема 5. Если

((12, b2) и (с1, d1)

то

(ат, [21) (со Щ)

((12, [72) для

Доказательство. Докажем, что из (щ, Ь] )

любой пары (с, d) следует: (ао Т) -1- (с, d)r-•.-) (ар b2) + (с, d) и

(щ, bl) (с, d) (а,2, b2) (с, d).

откуда

В самом деле, at

Умножая обе части равенства а1 А- А- а» на с и—

перестановки левой и правой его частей — на d, получим:

ав; -1- b2C -1- а,с, b1d —l- ard —l-b2d.

Складывая, находим:

(а,с -1- bid) -4- (a,d + b2C) (Тс -1- a2d) -1- (а„с -1- b2d),

откуда

(щ, Ь!) (с, d)rv b9) (с, d).

после

Применяя дважды только что доказанные законы коммутатив-

ности сложения и умножения пар, найдём:

0-4 b2) (со

((12, b2) (со Щ)

(аи b1) (со Щ)

Итак, определение 2 действительно вводит во множестве Со

классов эквивалентных пар однозначно определённые операции сло-

жения и умножения.

Т е о р е ма 6. Мноэюество Со с операциями, указанными в опре-

Делении 2, есть кольцо.