ГЛАВА IV

КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

S 18, Принцип расширения в арифметике и алгебре

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития.

Натуральные числа как средство счёта известны человеку на самых

ранних ступенях развития. Древнегреческие математики пользова-

лись как натуральными, так и дробными положительными числами,

но не знали отрицательных чисел. Употребление положительных и

отрицательных чисел (толкуемых как «имущество» и «долг») впер-

вые появилось у индусов (Арьябхатта, р. 476 г.; Брамагупта, 588

660 гг.; Бхаскара р. 1114 г.).

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел

введено в конце XIV в. немецким математиком

знаками -1— и

Видманном. Однако ещё в XVI в. многие математики не призна-

вали отрицательных чисел. Так, французский математик Виет

(1540—1603) при выводе соотношений между корнями и коэффи-

циентами уравнения ограничивался случаем положительных корней.

Полное признание отрицательные числа получили лишь в XVII в.

Таким образом, дробные числа появились в математике намного

раньше отрицательных. Возникновение дробных чисел связано с за-

дачами измерения.

Отступая от исторического пути развития по соображениям

большей логической простоты, мы введём сначала все целые числа,

а затем уже числа дробные.

Натуральные числа служат фундаментом, на котором чисто

конструктивным путём можно построить все другие числовые мно-

жества. Мы последовательно определим целые,. рациональные, дей-

ствительные и комплексные числа. Каждое из перечисленных число-

вых множеств содержит предыдущее. При этом мы стремимся по-

строить расширение. обладающее известными свойствами по отно-

шению к расширяемому множеству. Если множество А распшряется

до множества В, то эти свойства сводятся к следующему:

1) А есть подмножество В.

2) Интересующие нас операции или вообще отношения элемен-

тов множества А определены также и для элементов множества В,