КОЛЬЦО цВлых ЧИСЕЛ

161

Из этого определения ещё неясно, сущес гвует ли такое кольцо С

и будет ли оно единственным. Отложив пока вопрос о существо-

вании кольца целых чисел, покажем, что если оно существует, то

будет единственным с точностью до изоморфизма.

Т е о р е ма 1. Кольцо С, содержащее „иножество N натураль-

ных чисел 1), тогда и только тогда будет кольцом целых чисел

(т. е. минимальным), когда каждый его элемент равен разности

натуральных чисел.

Доказательство. А) Если кольцо С содержит N и каждый

элемент С равен разности натуральных чисел, то С минимально,

так как любое подкольцо, содержащее N, содержит и все разности

натуральных чисел (5 7, теорема 4) и, следовательно, совпадает с С.

Б) Пусть, обратно, кольцо С минимально. Во всяком кольце

разность элементов обладает следующими свойствами (S 7, теорема З):

а)

a—b==c—d

тогда и только тогда, когда -1— с;

б)

в)

г)

(1)

(а — Ь) (с — d) (ас + bd) — (ad + bc).

Пусть R — множество всех элементов С, каждый из которых

равен разности натуральных чисел. Из (1) следует, что сумма, раз-

ность и произведение двух элементов множества R снова принад-

лежат R , следовательно, R — подкольцо С. Любое натуральное число

равно, конечно, разности натуральных чисел, например а (а 4- Ь) —b,

где Ь— также натуральное число. Так как операции в N и С

совпадают, то R содержит N, и следовательно, R в силу ми-

нимальности С. Это значит, что любое целое число равно разности

натуральных чисел.

Т е о р е ма 2. Все линияальные кольца, содержащие натураль-

ные числа, изояорфны, т. е. кольцо целых чисел единственно

с точностью до изоморфизма.

Пусть С1 и С, — два таких кольца. По предыдущей теореме

любой элемент в С1 и С2 равен разности натуральных чисел. Строим

такое отображение f кольца С! на (Д: если и в Со

где а и Ь— натуральные числа, то в С2 будет: а— 2).

1) Здесь и ниже, говоря, что кольцо содержит натуральные числа или

что одно кольцо содержит другое, мы всегда будем подразумевать, что опе-

рации в подмножестве совпадают с соответствующими операциями в над-

2) Из и не следует с, ся, так как вычитание в С!

и С, может иметь разный смысл. Конечно, с, = с, при а > Ь, так как тогда

а— Ь существует в N и по совпадению операций с, и с, равны одному и

тому же натуральному числу а— Ь.

31 Энциклопедия. кн. 1.